討論:平方數

除了100的倍數的平方，平方數有無可能末4位數以上連續相同？

如題。末3位數連續相同是有可能的，例如38²=1444，那麼除了平凡解以外，末4位數連續相同有無可能呢？末5位數連續相同呢？末6位數連續相同呢？

這等於問，平方數是否能以4444或44444或444444結尾。

2538²=6441444這種是不算的，因為並沒有連續。-游蛇脫殼/克勞棣 2016年9月5日 (一) 12:53 (UTC)

悉題，先從平方數的最後一位看起。

一個平方數的結尾除了0以外，有1（1,9），4(2,8)，9(3,7)，6(4,6)，5(5)。

以1為結尾的平方數，十位必為偶數。

以9為結尾的平方數，十位必為偶數。

以5為結尾的平方數，十位必為2。

以6為結尾的平方數，十位必為奇數。

上方四種情況均不會出現大於4位最後數字相同的情況，即排除1111,9999,5555,6666以及更多連接的可能性。

以4為結尾的平方數，其構成x * 10000 + 4444的形式= 2^2 * (x * 2500 + 1111)，若其為平方數，則x * 2500 + 1111也必須為平方數。

見上，因為11結尾的數字不是平方數，故以4為結尾的平方數不會出現4位以上連續的可能性。

至此，排除法完畢，僅余平凡解即0000。

以上。 Innocentius（留言） 2016年9月5日 (一) 16:15 (UTC)

謝謝！已將結論新增至平方數。-游蛇脫殼/克勞棣 2016年9月6日 (二) 14:42 (UTC)

WP:OR？--Antigng（留言） 2016年9月7日 (三) 02:11 (UTC)

事實是這樣，不算原創研究，就好像13的平方是169，是計算的一種。-游蛇脫殼/克勞棣 2016年9月7日 (三) 07:38 (UTC)

說是這樣說，還是找到了一個來源(見"重複的字尾/例題一/一個正整數的平方(即完全平方數)的字尾最多可以重複多少個不是0的數字?"段落)，不過我還是覺得本討論的證明比較好：淺顯，且利用了條目已提過的性質(以1為結尾的平方數，十位必為偶數。以9為結尾的平方數，十位必為偶數。......)。-游蛇脫殼/克勞棣 2016年9月7日 (三) 08:20 (UTC)

平方數的"性質"條目修正敘述

編輯請求 2019-07-27

請求已拒絕-- 娜娜奇🐰鮮果茶☕（☎️·☘️） 2019年7月27日 (六) 10:37 (UTC)

將除了0跟1之外，4900是唯一的一個平方數，她剛好等於前幾個平方數的和。改成除了0跟1之外，4900是唯一一個等於「從1開始的連續正整數平方和」之平方數。意即 $70^{2}=\sum _{k=1}^{24}k^{2}$。

已確認 $70^{2}=\sum _{k=1}^{24}k^{2}$，但未確認4900是否符合敘述中的唯一性。--Hyman2930（留言） 2019年7月27日 (六) 09:15 (UTC)

• (：)回應根據
  1. G. N. Watson, The problem of the square pyramid, Messenger of Mathematics 48 (1918), pp. 1-22.
  2. Gardner, M. Fractal Music, Hypercards and More--: Mathematical Recreations from Scientific American Magazine (PDF). Recreational mathematics. W.H. Freeman. 1992: p.293. ISBN 9780716721895. LCCN 91017066.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)

  4900可能是唯一，但目前尚未查到證明，因此我會再加掛查證請求。另一方面由於@Hyman2930：您提議的修改後半句比較像是在介紹70的平方，因此加入到了70這個條目中了。-- 娜娜奇🐰鮮果茶☕（☎️·☘️） 2019年7月27日 (六) 10:37 (UTC)

  • 參閱 https://t.me/wikipedia_zh_n/720674 不適合收錄。-- 娜娜奇🐰鮮果茶☕（☎️·☘️） 2019年7月27日 (六) 11:28 (UTC)

這等於求不定方程k(k+1)(2k+1)/6=n²的非負整數解，用Excel算了一下，k≤7000時，(k,n)只有(0.0), (1,1), (24,70)三組解，我會再多試一點。-游蛇脫殼/克勞棣 2019年7月27日 (六) 11:49 (UTC)

k≤12000時依然只有三解，但發現1^2+2^2+3^2+......+7639^2非常接近385511^2，以及1^2+2^2+3^2+......+10566^2非常接近6270991^2，也算是一點小收穫。-游蛇脫殼/克勞棣 2019年7月27日 (六) 12:28 (UTC)

• 四角錐數$P\left(n\right)=\sum _{k=1}^{n}k^{2}$，平方數$T\left(m\right)=m^{2}$

  列出丟番圖方程有：

  $T\left(m\right)=P\left(n\right)$

  $m^{2}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}$

  $m^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

  對右式觀察得知，當且僅當$n(n+1)(2n+1)$為$6$之倍數時方有整數解。

  特別地，對各個乘數$n$、$(n+1)$、$(2n+1)$進行關於$3$的倍數之討論。

  可知：

  • 當$n$為3之倍數時，有$n=3k$
  • 當$(n+1)$為3之倍數時，有$n=3k+2$
  • 當$(2n+1)$為3之倍數時，有$n=3k+1$；（$2(3k+1)+1=6k+3$為3之倍數。

  故，無論如何$n$、$(n+1)$、$(2n+1)$中之一必定為3之倍數，且其他因數必須為平方數，

  • 因此對於滿足條件有六種：
    1. ：$n=3a^{2},\,n+1=2b^{2},\,2n+1=c^{2}$
    2. ：$n=2a^{2},\,n+1=3b^{2},\,2n+1=c^{2}$
    3. ：$n=2a^{2},\,n+1=b^{2},\,2n+1=3c^{2}$
    4. ：$n=2a^{2},\,n+1=6b^{2},\,2n+1=c^{2}$
    5. ：$n=6a^{2},\,n+1=b^{2},\,2n+1=c^{2}$
    6. ：$n=a^{2},\,n+1=2b^{2},\,2n+1=3c^{2}$

  但，當$2b^{2}$以3除時僅可能存在余數0或2，代入發生矛盾。

  同理前4個公式均如此。

  解第五個公式時，得到特殊解$n=24$，並且$n=6a^{2}\,$、$n+1=b^{2}\,$、$2n+1=c^{2}$只有奇數c滿足$(c-1)(c+1)=12a^{2}$，也就是說，存在有整數d和e滿足${\frac {1}{2}}(c-1)=d^{2},\,{\frac {1}{2}}(c+1)=3e^{2},\,a=d\,e$或者${\frac {1}{2}}(c-1)=3d^{2},\,{\frac {1}{2}}(c+1)=e^{2},\,a=d\,e$然而，${\frac {1}{2}}(c-1)=d^{2},\,{\frac {1}{2}}(c+1)=3e^{2},\,a=d\,e$會使$(3e^{2}-d^{2})\equiv 1{\pmod {3}}$矛盾。故只能有${\frac {1}{2}}(c-1)=3d^{2},\,{\frac {1}{2}}(c+1)=e^{2},\,a=d\,e$，使得$c-1=6d^{2},\,c+1=2e^{2}$以及$c^{2}+1=2b^{2},\,c+1=2e^{2}$，對於該方程，$c=7$和$c=1$是唯一解。當$c=1$時會有$n=0$排除。$c=7$時則有$n=24$。為證明該解的特殊，有$y^{2}=8x^{2}+1$得到解對$(0,\,1)\,,\quad$ $(0,\,-1)\,,\quad$ $(1,\,3)\,,\quad$ $(1,\,-3)\,,\quad$ $(-1,\,3)\,,\quad$ $(-1,\,-3)$。對於第六種相對複雜，需要非平凡解的證明，引入橢圓函數。首先將原方程變形$2b^{2}-a^{2}=1,\,2b^{2}+a^{2}=3c^{2}$為解決該問題，可尋求已知一普遍問題$2X^{2}-Y^{2}=Z^{2},\,2X^{2}+Y^{2}=3W^{2}$兩個橢圓方程。為求解，必須有${\frac {Z}{W}}=(-1)^{r}sd\left((2r+1)\beta \right){\sqrt {\frac {3}{2}}}$其中r為非負數。$sd\left(\beta \right)$為雅可比橢圓函數,不做介紹。解出可以有當$Z=1$時，只有$r=0$滿足$X^{2}=Y^{2}=Z^{2}=W^{2}=1$此時僅有$a=1,\,n=1$。

此為根據俄文內容翻譯而成，準確性並不能完全保證，為做參照可以瀏覽ru:Задача о пушечных ядрах，獲得準確內容，來自Watson之證明，作爲內容補充亦有ma之證明此處尚未給出。--Rowe Wilson Frederisk Holme（留言） 2019年7月27日 (六) 13:46 (UTC)

• (：)回應@Rowe Wilson Frederisk Holme：已經幫您將數學公式轉為LaTeX形式，請協助檢查看看有無寫錯；@克勞棣：協助檢視以上證明。（我的專業領域沒到那麼深入。）-- 娜娜奇🐰鮮果茶☕（☎️·☘️） 2019年7月27日 (六) 17:11 (UTC)

(：)回應：我不明白為什麼要寫「當且僅當n(n+1)(2n+1)為6之倍數時方有整數解」這句，莫非有「當n(n+1)(2n+1)不為6之倍數」的時候嗎？我也看不出「n(n+1)(2n+1)恆為6之倍數」與解此不定方程有何關係。

證明「n、(n+1)、(2n+1)三者必有其一是3的倍數」是「當n為3之倍數.....」、「當(n+1)為3之倍數......」、「當(2n+1)為3的倍數......」這樣證的嗎？這算是窮舉嗎？在下認為這根本是先射箭再畫靶。所以對於再以下的論證，我只好說「不予置評」。謝謝大家！-游蛇脫殼/克勞棣 2019年7月27日 (六) 18:03 (UTC)

• 嗯，沒錯，證明是先射箭再畫靶，否則是解題行爲而不是證明。另外，證明為3之倍數為其一條件，即n、(n+1)、(2n+1)三者必有其一是3的倍數，也就是說要麽n是3的倍數，要麽(n+1)，要麽(2n+1)，所以列出下面6個算式時，必定至少有其一為a=3*k*b^2的形式（其中k為1或2），而2n+1不可能為3的倍數同時亦為2的倍數（不可能為偶數），故2n+1之前只能為1或者3。綜上，三個分式中必定會將2、3之因數分配給某一元，但是2不可能同時分配給2n+1，另外，為何需要6作為因數，應該很明顯，k/6=m^2，且m為整數，則k/6必定為整數。k只能為6之倍數。另外確實該數必定為6之倍數，此處證明有3為因數是為表明該處6隻能以3*2形式分配而已。其實這一步可以不寫，但是為了直觀寫上而已。如果對該過程瞭解可不必糾纏。--Rowe Wilson Frederisk Holme（留言） 2019年7月27日 (六) 18:29 (UTC)

• (！)意見@Hyman2930：相關爭議未解之前，恕無法接受編輯請求。不過奇怪的是相關話題en:Cannonball_problem和ru:Задача о пушечных ядрах都有條目，但所列的多個來源在WP:TG的相關討論 (請往上翻閱，可使用Web版)中gaenitsuka認為多數來源皆未充分地證明到「4900」的唯一性，想請問user:克勞棣對en:Cannonball_problem和ru:Задача о пушечных ядрах等條目的看法。感謝。另，編輯請求已駁回，若能提供相關證明，可再提出編輯請求。-- 娜娜奇🐰鮮果茶☕（☎️·☘️） 2019年7月27日 (六) 18:24 (UTC)
• @antigng、克勞棣：額外找到一篇文章，該文章給出了避免橢圓方程複雜化的基本證明（英語：Elementary proof）。文章來自於1990年American Mathematical Monthly 97，標題The Square Pyramid Puzzle。內容見此處。--Rowe Wilson Frederisk Holme（留言） 2019年7月27日 (六) 19:40 (UTC)
  • 補充一下，在WP:TG上gaenitsuka建議antigng也加入討論以便解決問題。-- 娜娜奇🐰鮮果茶☕（☎️·☘️） 2019年7月27日 (六) 19:42 (UTC)

@A2569875：：可惜我英文很苦手，俄文完全不懂，橢圓函數更是只聽過、沒學過 囧rz……。但我不認為一定要提供有證明的可靠來源，才能把這句話寫進去，只要可靠來源說(24,70)是唯一的非平凡解就可以了吧？en:Cannonball_problem#Solution的兩條來源是可以用的。不然，可以像奇完全數或當初的費馬最後定理一樣，限定在某個範圍內，(24,70)是唯一的非平凡解，例如k≤15000時，$(k,n)=(24,70)$是${\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}=n^{2}$唯一的正整數非平凡解。-游蛇脫殼/克勞棣 2019年7月28日 (日) 04:16 (UTC)

附帶一提，Elementary proof一般是翻譯為「初等證明」吧？「基本證明」有點怪.....-游蛇脫殼/克勞棣 2019年7月28日 (日) 04:20 (UTC)

${\sqrt {1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}.......+552057^{2}}}=236818619.0000004307\cdots$，差一點點，連Excel都誤判這是一個整數。-游蛇脫殼/克勞棣 2019年8月13日 (二) 09:57 (UTC)