代數內部

作為數學的一個分支，在泛函分析中，向量空間子集的代數內部(英語：Algebraic interior)或徑向核(英語：Radial kernel)是對內部概念的細化。 它是給定集合相對於該點是吸收的的點構成的子集，即集合的徑向點構成的集合。代數內部的元素通常被稱為內點(英語：Internal point)。 

正式地，如果$X$是線性空間，則$A\subseteq X$的代數內部是

$\operatorname {core} (A):=\left\{x_{0}\in A:\forall x\in X,\exists t_{x}>0,\forall t\in [0,t_{x}],x_{0}+tx\in A\right\}$。

一般來說，$\operatorname {core} (A)\neq \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))$，但如果$A$是一個凸集，則有$\operatorname {core} (A)=\operatorname {core} (\operatorname {core} (A))$。假設$A$是凸集，則如果$x_{0}\in \operatorname {core} (A),y\in A,0<\lambda \leq 1$，就有$\lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {core} (A)$。

例子

如果$A=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geq x_{1}^{2}{\text{ or }}x_{2}\leq 0\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$，則有$0\in \operatorname {core} (A)$，但$0\not \in \operatorname {int} (A)$且$0\not \in \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))$。

性質

令$A,B\subset X$則：

• $A$是吸收的若且唯若$0\in \operatorname {core} (A)$
• $A+\operatorname {core} B\subset \operatorname {core} (A+B)$
• $A+\operatorname {core} B=\operatorname {core} (A+B)$如果$B=\operatorname {core} B$

和內部的關係

令$X$是拓撲向量空間，$\operatorname {int}$表示內部算子，且$A\subset X$，則有：

• $\operatorname {int} A\subseteq \operatorname {core} A$
• 如果$A$是非空凸集且$X$ 有限維的，則有$\operatorname {int} A=\operatorname {core} A$
• 如果$A$是有非空內部的凸集，則有$\operatorname {int} A=\operatorname {core} A$
• 如果$A$是閉凸集且$X$是完備度量空間，則有$\operatorname {int} A=\operatorname {core} A$

另請參閱

• 內部
• 相對內部
• 擬相對內部
• 有序單位
• 邊界點