在代數數論中，若數體 K {\displaystyle K} 的每個嵌入 σ : K → C {\displaystyle \sigma :K\to \mathbb {C} } 的像都落在實數體 R {\displaystyle \mathbb {R} } ，則稱 K {\displaystyle K} 為全實數體。
若 K {\displaystyle K} 可表為 K = Q ( α ) {\displaystyle K=\mathbb {Q} (\alpha )} ，設 α {\displaystyle \alpha } 在 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上的的極小多項式為 P ( X ) {\displaystyle P(X)} ，則嵌入映射 σ : K → C {\displaystyle \sigma :K\to \mathbb {C} } 透過 σ ↦ σ ( α ) {\displaystyle \sigma \mapsto \sigma (\alpha )} 一一對應於 P ( X ) {\displaystyle P(X)} 在 C {\displaystyle \mathbb {C} } 裏的根。 K {\displaystyle K} 是全實域當且僅當 P ( X ) {\displaystyle P(X)} 僅有實根。
另一種判準是： K {\displaystyle K} 是全實域當且僅當 K ⊗ Q R ≃ R [ K : Q ] {\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} \simeq \mathbb {R} ^{[K:\mathbb {Q} ]}} 。
全實域在代數數論中是較容易處理的數體。對於任意的阿貝爾擴張 L / Q {\displaystyle L/\mathbb {Q} } ，我們有 L {\displaystyle L} 是全實域，或者存在極大的全實子體 K / Q {\displaystyle K/\mathbb {Q} } 使得 [ L : K ] = 2 {\displaystyle [L:K]=2} 。
![{\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} \simeq \mathbb {R} ^{[K:\mathbb {Q} ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e98ed52534482c439189be6002cea9dd6d5c546)
![{\displaystyle [L:K]=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/882137cb6d1d2fc8ec231d6bf87f3bd7ea3c5f95)