內點法(英語:Interior-point methods),也稱為障礙法(英語:barrier methods),是解決線性非線性凸優化問題的一類算法。

內點法解決方案。藍線表示約束線,紅點表示迭代解決方案

內點法由前蘇聯數學家伊·伊·迪金(I. I. Dikin)於1967年發現,並於20世紀80年代中期在美國重新發明。1984年納倫德拉·卡瑪卡(Narendra Karmarkar)開發了一種稱為卡瑪卡算法的線性規劃方法,該算法在可證明的多項式時間內運行,並且在實踐中也非常高效。它能夠解決超出單純形法能力的線性規劃問題。與單純形法不同,它通過遍歷可行區域的內部來達到最佳解。該方法可以推廣到基於用於編碼凸集的自和諧障礙函數的凸規劃。

通過轉換為代碼形式,任何凸優化問題都可以轉化為最小化(或最大化)凸集上的線性函數[1]。安東尼·V·菲亞科、加斯·P·麥考密克等人在20世紀60年代初研究了使用屏障對可行集進行編碼並設計屏障方法的想法。這些想法主要是針對一般非線性規劃而開發的,但後來由於針對此類問題存在更具競爭力的方法(例如順序二次規劃)而被放棄。

尤里·涅斯捷羅夫阿爾卡迪·內米羅夫斯基提出了一類特殊的障礙,可用於編碼任何凸集。它們保證算法的迭代次數受解的維數和精度的多項式限制[2]

尚博勒-波克算法於2011年推出,是一種通過最小化非平滑成本函數來有效解決凸優化問題的算法,涉及原對偶方法(primal-dualapproach)[3]

卡瑪卡的突破重振了內點方法和障礙問題的研究,表明可以創建一種以多項式複雜性為特徵的線性規劃算法,而且與單純形法具有競爭力。哈奇延(Khachiyan)的橢球法已經是一種多項式時間算法,然而它太慢了因而沒有實際意義[4]

參考資料

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  1. ^ Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven. Convex Optimization. Cambridge: Cambridge University Press. 2004: 143. ISBN 978-0-521-83378-3. MR 2061575. 
  2. ^ Wright, Margaret H. The interior-point revolution in optimization: History, recent developments, and lasting consequences. Bulletin of the American Mathematical Society. 2004, 42: 39–57. MR 2115066. doi:10.1090/S0273-0979-04-01040-7 . 
  3. ^ Chambolle, Antonin; Pock, Thomas. A First-Order Primal-Dual Algorithm for Convex Problems with Applications to Imaging. Journal of Mathematical Imaging and Vision. 2011, 40 (1): 120–145. ISSN 0924-9907. doi:10.1007/s10851-010-0251-1 (英語). 
  4. ^ Potra, Florian A.; Stephen J. Wright. Interior-point methods. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2000, 124 (1–2): 281–302. doi:10.1016/S0377-0427(00)00433-7 .