如果一個實數滿足,對任意正整數,存在整數,其中

就把叫做劉維爾數

法國數學家劉維爾在1844年證明了所有劉維爾數都是超越數[1],第一次說明了超越數的存在。

基本性質

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容易證明,劉維爾數一定是無理數。若不然,則 。 取足夠大的 使 ,在 時有

 

與定義矛盾。

劉維爾常數

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這是一個劉維爾數。取

 

那麼對於所有正整數 

 

超越性

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所有劉維爾數都是超越數,但反過來並不對。例如,著名的e 就不是劉維爾數。實際上,有不可數多的超越數都不是劉維爾數。

證明

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劉維爾定理:若無理數 代數數,即整係數 多項式 的根,那麼存在實數 ,對於所有 

 

證明:令 ,記 的其它的不重複的根為  ,取這樣的A

 

如果存在使定理不成立的 ,就有

 

那麼, 

拉格朗日中值定理,存在  之間的 使得

 

 

 是多項式,所以

 

由於  

 

矛盾。

證明劉維爾數是超越數:有劉維爾數 ,它是無理數,如果它是代數數則

 

取滿足 的正整數 ,並令 ,存在整數 其中  

 

與上式矛盾。故劉維爾數是超越數。

參考文獻

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  1. ^ Liouville, Joseph. Mémoires et communications. Comptes rendus de l'Académie des Sciences. [2023-01-02]. (原始內容存檔於2023-02-21). 

參見

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外部連結

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