和四次方

和四次方是數學公式的一種，它屬於因式分解、乘法公式及恆等式，被普遍使用。和四次方是指一個數項，加上另一個數項後，得出來的總和的四次方，得來的公式是：

$(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\,\!$

驗證

主驗證

和四次方可直接計算驗證：

$(a+b)^{4}\,\!$

$=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)\,\!$

$=a(a+b)(a+b)(a+b)+b(a+b)(a+b)(a+b)\,\!$

$=(a^{2}+ab)(a+b)(a+b)+(ab+b^{2})(a+b)(a+b)\,\!$

$=a(a^{2}+ab)(a+b)+b(a^{2}+ab)(a+b)+a(ab+b^{2})(a+b)+b(ab+b^{2})(a+b)\,\!$

$=a^{3}(a+b)+a^{2}b(a+b)+a^{2}b(a+b)+ab^{2}(a+b)+a^{2}b(a+b)+ab^{2}(a+b)+ab^{2}(a+b)+b^{3}(a+b)\,\!$

$=a^{4}+a^{3}b+a^{3}b+a^{2}b^{2}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+a^{2}b^{2}+ab^{3}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+a^{2}b^{2}+ab^{3}+a^{2}b^{2}+ab^{3}+ab^{3}+b^{4}\,\!$

$=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\,\!$

運用和立方

和四次方亦可運用和立方驗證，首先要知道和立方的公式是：

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,\!$

然後，利用和立方計算出和四次方：

$(a+b)^{4}\,\!$

$=(a+b)^{3}(a+b)\,\!$

$=(a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3})(a+b)\,\!$

$=a(a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3})+b(a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3})\,\!$

$=a^{4}+3a^{3}b+3a^{2}b^{2}+ab^{3}+a^{3}b+3a^{2}b^{2}+3ab^{3}+b^{4}\,\!$

$=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\,\!$

運用三數和平方

和四次方亦可運用三數和平方驗證，首先要知道和平方的公式是：

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!$

• 下一步要知道三數和平方的公式是：

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\,\!$

然後利用三數和平方的恆等式，計算和平方的平方計算出和四次方：

$(a+b)^{4}\,\!$

$=[(a+b)^{2}]^{2}\,\!$

$=(a^{2}+2ab+b^{2})^{2}\,\!$

$=(a^{2})^{2}+(2ab)^{2}+(b^{2})^{2}+2(a^{2})(2ab)+2(2ab)(b^{2})+2(b^{2})(a^{2})\,\!$

$=a^{4}+4a^{2}b^{2}+b^{4}+4a^{3}b+4ab^{3}+2a^{2}b^{2}\,\!$

$=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\,\!$