多伽瑪函數

${\boldsymbol {m}}$階多伽瑪函數是伽瑪函數的第$({\boldsymbol {m+1}})$個對數導數。

$\psi ^{(m)}(\zeta )=\left({\frac {d}{d\zeta }}\right)^{m}\psi (\zeta )=\left({\frac {d}{d\zeta }}\right)^{m+1}\ln \Gamma (\zeta )$

在這裏

$\psi (\zeta )=\psi ^{(0)}(\zeta )={\frac {\Gamma '(\zeta )}{\Gamma (\zeta )}}$

是雙伽瑪函數，$\Gamma (\zeta )\!$是伽瑪函數。函數$\psi ^{(1)}(\zeta )\!$有時稱為三伽瑪函數。

伽瑪函數的對數，以及最初幾個多伽瑪函數

$\ln \Gamma (\zeta )\!$	$\psi ^{(0)}(\zeta )\!$	$\psi ^{(1)}(\zeta )\!$	$\psi ^{(2)}(\zeta )\!$	$\psi ^{(3)}(\zeta )\!$	$\psi ^{(4)}(\zeta )\!$

積分表示法

多伽瑪函數可以表示為：

$\psi ^{(m)}(\zeta )=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-\zeta t}}{1-e^{-t}}}dt$

當Re z >0和m > 0時成立。對於m = 0，參見雙伽瑪函數的定義。

遞推關係

多伽瑪函數具有以下的遞推關係：

$\psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+(-1)^{m}\;m!\;z^{-(m+1)}.$

乘法定理

乘法定理給出：

$k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)$

其中$m>1$。對於$m=0$，則是雙伽瑪函數：

$k(\psi (kz)-\log(k))=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right)$

級數表示法

多伽瑪函數有以下的級數表示法：

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}$

對m > 0和任何不等於負數的複數z都成立。還可以用赫爾維茨ζ函數來表示：

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z).$

泰勒級數

z = 1時，泰勒級數為：

$\psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}},$

當|z| < 1時收斂。在這裏，ζ是黎曼ζ函數。這個級數可以很容易從赫爾維茨ζ函數的泰勒級數推出。這個級數也可以用來推導出一些有理ζ級數。

參見

• 伽瑪函數
• 雙伽瑪函數

參考文獻

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 978-0-486-61272-0 . 參見第§6.4（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）節。