多項式變換

數學上的多項式變換是指針對一多項式，計算另一個多項式，使其根是原多項式各根的函數。像契爾恩豪森轉換（英語：Tschirnhaus transformation）即為多項式變換，常用在代數方程求解過程中的化簡。

舉例

根的平移

設有多項式

P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}

且

\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}

是其複數根（不必互異）。

對於任意常數 $c$ ，以

\alpha _{1}+c,\ldots ,\alpha _{n}+c

為根的多項式是

Q(y)=P(y-c)=a_{0}(y-c)^{n}+a_{1}(y-c)^{n-1}+\cdots +a_{n}.

如果 $P$ 的係數為整數，且常數 $c={\frac {p}{q}}$ 是有理數，那麼 $Q$ 係數可能不是整數，而多項式 $c n Q$ 仍具有整數係數，並且與 $Q$ 同根。

特別，若 ${\displaystyle c={\frac {a_{1}}{na_{0}}}}$ ，得到的多項式Q會缺少 $y^{n-1}$ 項。

根的倒數

設有多項式

P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}

以P之根倒數為根的多項式是P的倒數多項式（英語：Reciprocal polynomial）：

Q(y)=y^{n}P\left({\frac {1}{y}}\right)=a_{n}y^{n}+a_{n-1}y^{n-1}+\cdots +a_{0}.

根的縮放

設有多項式

P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}

且c為非零常數。以P之根乘以c的積為根的多項式是

Q(y)=c^{n}P\left({\frac {y}{c}}\right)=a_{0}y^{n}+a_{1}cy^{n-1}+\cdots +a_{n}c^{n}.

這裏出現了因子 $c^{n}$ ，是因為如果c與P的係數都屬於整數或者某個整環，那麼Q的係數也會有相同的特性。

特別地，如果 $c=a_{0}$ ，那麼Q的所有係數就都是c的倍數，而Q/c是一個首一多項式，其係數屬於任何同時包含了c與P的各係數的整環。這個多項式變換常常可以用來把化簡代數數的問題化約成代數整數的問題。

把此變換與把根平移 ${\frac {a_{1}}{na_{0}}}$ 的變換組合起來，可以化約任何關於多項式的根的問題，比如把求根化簡為對於更簡單的首一且不含n-1次方項的多項式的類似問題。

通過有理函數的變換

前面的所有例子都是通過有理函數進行的多項式變換，這也稱為契爾恩豪森轉換。設有有理函數

f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}

其中g和h是互質的多項式。多項式Q的根是P的根在f作用下的像，則稱多項式P在f作用下的多項式變換是多項式Q（最多可以相差一個非零常數）。

這樣的多項式變換可以按結式計算。要求多項式Q，只須求複數y，使得存在複數x同時滿足（如果P，g和h的係數不是實數或者不是複數，那麼這裏的「複數」要替換成「含有輸入的各多項式之係數的代數閉域中的元素」）

{\begin{aligned}P(x)&=0\\y\,h(x)-g(x)&=0\,.\end{aligned}}

這正是下列結式的定義：

\operatorname {Res} _{x}(y\,h(x)-g(x),P(x)).

這通常很難手動計算。不過大多數計算機代數系統都有內置函數來計算結式。

性質

若多項式 $P$ 不可約，那麼得到的多項式 $Q$ 的結果要麼不可約，要麼是不可約多項式的冪。設 $\alpha$ 是 $P$ 的根，且 $\alpha$ 生成了域擴張 $L$ ；那麼，前一種情況就意味着 $f(\alpha )$ 是 $L$ 的本原元，而 $Q$ 是 $L$ 的最小多項式（英語：Minimal polynomial (field theory)）；而在後一種情況下， $f(\alpha )$ 屬於 $L$ 的一個子域，而它的最小多項式是以 $Q$ 為冪的不可約多項式。

用於求解方程的變換

有些情形下，多項式變換可以用根式簡化多項式的求解。笛卡爾對d階多項式引入變換，用根的平移消除d-1階項。這樣操作後的多項式稱為壓縮多項式（depressed polynomial）。對於用平方根解二次式，這已經足夠了。在立方式的情況下，契爾恩豪森轉換要用二次函數替換原來的自變量，從而消除其中兩項，進而可以消除線性項，得到一個壓縮的立方式，從而可以用平方根和立方根的組合給出原立方式的解。而在Bring-Jerrard變換的變換函數是四次的，可以把五次項變成Bring-Jerrard標準形式（布靈根式），只含有5次、1次和0次項。

參考

Adamchik, Victor S.; Jeffrey, David J. Polynomial transformations of Tschirnhaus, Bring and Jerrard (PDF). SIGSAM Bull. 2003, 37 (3): 90–94. Zbl 1055.65063. （原始內容 (PDF)存檔於2009-02-26）.