子集
集合A是集合B的子集,是指A的所有元素都是B當中的元素
子集(英語:subset)亦稱部分集合,為某集合中部分元素的集合;關係相反時則稱作父集、母集、超集。子集與父集的關係被稱為「包含」。
如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素(任意a∈A,則a∈B),則集合A稱為集合B的子集,記為或,讀作「集合A包含於集合B」或「集合B包含集合A」。
即:,有,則。
- 是的子集(或稱包含於 );
- 是的父集/超集(或稱包含 );
任何集合皆是本身的子集()。而的子集中不等於的集合,稱為真子集,若是的真子集,寫作。
定義
編輯假設有 和 兩個集合,如果 中的每個元素都是 的元素,則:
- 是 的子集,記作
- 也可以說
- 是 的超集,記作
如果 是 的子集,但 不等於 (即 中至少存在一個元素不在 集合中),則:
- 是 的真子集,記作
- 也可以說
- 是 的真超集,記作
符號
編輯ISO 80000-2標準中定義了兩種符號搭配:[1]
舉例
編輯性質
編輯命題1:空集是任意集合的子集。
這個命題說明:包含是一種偏序關係。
命題2:若 是集合,則:
- 自反性:
- 傳遞性:
- 若 且 則
這個命題說明:對任意集合 , 的冪集按包含排序是一個有界格,與上述命題相結合,則它是一個布爾代數。
命題3:若 是集合 的子集,則:
- 存在並運算:
- 若 且 則
- 存在交運算:
- 若 且 則
命題4:對任意兩個集合 和 ,下列表述等價:
參考文獻
編輯- ^ ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics. ISO. 2019-08 [2023-7-24]. (原始內容存檔於2023-03-13) (英語).
- ^ 離散數學-第三章, [2012-09-07], (原始內容存檔於2012-07-03)
- ^ 剑桥大学国际考试院IGCSE数学考纲 (PDF), [2015-03-14], (原始內容存檔 (PDF)於2016-03-04)
- ^ Subsets and Proper Subsets (PDF), [2012-09-07], (原始內容 (PDF)存檔於2013-01-23)
- ^ Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, New York: McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157
參見
編輯- 冪集:某集合的全部子集組成的集合。