對角論證法

對角論證法是喬治·康托爾於1891年提出的用於說明實數集合是不可數集的證明。

對角線法並非康托爾關於實數不可數的第一個證明，而是發表在他第一個證明的三年後。他的第一個證明既未用到十進制展開也未用到任何其它數系。自從該技巧第一次使用以來，在很大範圍內的證明中都用到了類似的證明構造方法，它們一般亦稱為對角論證法。

實數

康托爾的證明表明區間[0, 1]不是可數無窮大。該證明是用反證法完成的，步驟如下：

假設區間[0, 1]是可數無窮大的，已知此區間中的每個數字都能以小數形式表達。
我們把區間中所有的數字排成數列（這些數字不需按序排列；事實上，有些可數集，例如有理數也不能按照數字的大小把它們全數排序，但單只是成數列就沒有問題的）。對於那些有兩種小數形式的數字，例如0.499 ... = 0.500 ...，我們選擇前者。
舉例，如果該數列小數形式表現如下：
r₁ = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...

r₂ = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...

r₃ = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...

r₄ = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...

r₅ = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...

r₆ = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...

r₇ = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...

...
考慮 $r_{k}$ 小數點後的第k個位，我們給這些數字加上底線與粗體。從這裏可以看出「對角論證法」名稱的由來。
r₁ = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...

r₂ = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...

r₃ = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...

r₄ = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...

r₅ = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...

r₆ = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...

r₇ = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...

...
我們設一實數 $x\in [0,1]$ ，其中 $x$ 的第k個小數位為 $r_{k}$ 的第 $k$ 個小數位加2之後的個位數值。(例如說，r1的第1個小數位加2便是7）
明顯地 $x$ 是一個在區間[0, 1]內的實數，以之前的數列為例，則相對應的 $x$ 應為 0 . 7 3 6 2 4 5 7 ...。
由於 $x$ 的特殊定義， $x$ 和 $r_{n}$ 會在第 $n$ 個小數位不同。這使得序列 $(r_{1},r_{2},r_{3},...)$ 之中所有的實數俱不能與 $x$ 完全相等，即 $x$ 不在序列 $(r_{1},r_{2},r_{3},...)$ 中。
但我們假設 $(r_{1},r_{2},r_{3},\ldots )$ 包括了所有區間[0, 1]內的實數，即應該要存在一個 $r_{n}=x$ 。這發生了矛盾。
所以在第一點內所提出的假設「區間[0, 1]是可數無窮大的」不成立，證畢。

對角論證法

實數

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