冪平均(英語:power mean),又稱廣義平均(英語:generalized mean)或赫爾德平均(英語:Hölder mean),是一族從數列到實數的函數。冪平均函數的特殊情況包括畢達哥拉斯平均(算術、幾何、調和平均),因此可視為畢達哥拉斯平均的一種推廣。
若 是一非零實數,可定義非負實數
的p次冪平均為
-
冪平均在 等於幾何平均(冪平均函數 收斂於0時的收斂於幾何平均)
-
- 和所有平均一樣,冪平均是各參數 的一次齊次函數。即若 是一個正實數,則 指數為 的冪平均等於 倍 的冪平均。
- 與幾何算術平均一樣,這種平均的計算可以分解成同樣大小的子塊來計算。
-
一般地,如果 ,則 且這兩個平均相等若且唯若 。這由事實
-
得出,上述不等式可由琴生不等式證明。
特別地,對 ,冪平均不等式蘊含了畢達哥拉斯平均不等式以及算術幾何平均不等式。
|
最小值
|
|
調和平均
|
|
幾何平均
|
|
算術平均
|
|
平方平均
|
|
立方平均
|
|
最大值
|
此段最後將證明當指數 趨於 與 ,其冪平均的冪平均分別趨於最小值與最大值。定義指數為 與 的冪平均為最大值與最小值。從而應該有:
-
對最大值證明如下:不失一般性假設序列 非減且全不為零。則不等式等價於:
-
兩邊取 次冪,我們得到不等式(取決於 的符號):
-
若 為 ≤, 若 為 ≥。
兩邊同時減去 我們得到:
-
除以 :
-
不為零,從而:
-
減去 剩下:
-
這是顯然的,因為 大於或等於任何 ,從而
-
對最小值證明幾乎相同,只不過將 、 換作 、 ,證畢。
另一方面,當 大於零時,由簡單的推理以及上面的不等式有
-
令 趨於 時,左邊同樣趨於 ,由夾逼定理知中間項冪平均趨於 。最小值的證明完全類似。
冪平均可以推廣到更一般的廣義 f-平均:
-
例如這包括了幾何平均而勿需使用極限。冪平均是由 得到的。