形式冪級數(formal power series)是一個數學中的抽象概念,是從冪級數中抽離出來的代數對象。形式冪級數和從多項式中剝離出來的多項式環類似,不過允許(可數)無窮多項因子相加,但不像冪級數一般要求研究是否收斂和是否有確定的取值。形式冪級數在代數和組合理論中有廣泛應用。
形式冪級數和多項式的形式定義有類似之處。對於熟悉冪級數的讀者,也可以將其看作是不討論冪級數斂散性,也就是將其中的不定元僅僅看作是一個代數對象,而不是任何具體數值的時候寫出的冪級數。舉例來說,以下的級數式子:
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如果我們把它當成冪級數來研究的話,重點會放在它的收斂半徑等於1、其對應的冪級數函數是否滿足某些性質等等。但作為形式冪級數來研究時,我們關注的是它本身的結構。我們甚至可以把它簡寫為: 這樣,只關注它的係數。我們完全可以考慮各種係數的形式冪級數。比如說係數為階乘的形式冪級數: ,即使說它對應的冪級數:
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在 取任何的非零實數值時都不收斂,我們仍然可以將其作為形式冪級數進行運算。
和多項式環中的元素一樣,形式冪級數之間也可以做加減和乘法的運算,具體的計算方式和多項式環一樣。比如說設:
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那麼 與 的和就是:
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其中 裏面 的係數就是 與 中 的係數的和; 裏面 的係數就是 與 中 的階數相加等於5的項的係數乘積的和:
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對每個確定的階數 ,這個計算是有限項(至多 項)的相加,所以在計算形式冪級數的加減法和乘法的時候,不需要像在對冪級數進行計算時一樣,考慮諸如是否絕對收斂、條件收斂或是一致收斂的問題。另外,如多項式的形式運算一樣,形式冪級數也滿足加法的交換律、加法的結合律、乘法的交換律、乘法的結合律以及乘法對加法的分配律。
形式冪級數不僅能夠定義乘法,也能定義乘法逆的運算。一個形式冪級數 的逆是指另一個形式冪級數 ,使得 . 如果這樣的形式冪級數 存在,就是唯一的,將其記為 。同時我們也可以定義形式冪級數的除法:當 的逆存在時, 比如說,可以很容易驗證:
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形式冪級數上的一個重要映射是係數的提取操作:將一個形式冪級數映射到它的 的係數。這個操作常常記作 ,比如說對形式冪級數 ,就有:
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對以上定義的形式冪級數 ,也有: 。又比如: , 。提取映射和多項式環中的對應映射一樣,都可以看做是到一個子空間的投影映射。
所有的不定元為 ,係數為某一個交換環 上元素的形式冪級數構成一個環,稱為 上變量為 的形式冪級數環,記作 。
可以定義為 上變量為 的多項式環完備化(對於特定的度量)後得到的。這個定義自然就賦予了 以拓撲環的結構(同時也賦予了完備度量空間的結構)。不過空間完備化所需要的步驟過於繁瑣,而建構 所需要的並沒有那麼多。以下將對 的環結構和拓撲結構分別定義,更為明晰,容易理解。
首先可以定義集合 的範圍。作為一個集合, 可以用和 一樣的方法構造。 是所有 上元素構成的數列 的集合:
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中的元素可以定義加法和乘法:
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其中乘法的定義方法也叫做求兩個數列的係數的柯西乘積,也是一種卷積。可以證明,在以上的定義下, 是一個交換環。環的加法零元是 ,乘法么元是 。於是我們可以將 中的元素嵌入到 之中,
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並將 映射到不定元 ,這樣通過以上定義的加法和乘法就可以將 中的有限非零元元素同構為:
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這樣的結構和多項式環是一樣的。所以對於更一般的 中元素 ,就可以自然地希望將其對應到 :
但這個對應方式並不能通過有限項的加法和乘法得到,所以需要用一個約定上的映射 來做到:
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這個映射涵蓋了之前的多項式的定義,並且可以定義
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以及
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這個定義使得 是一個同態,所以 也是一個交換環。
以上的定義中建立了映射
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但需要注意的是這裏的定義中 還是一個符號性的對象,因為我們並沒有定義其中無限求和號的意義。為了更好地定義 本身,我們需要引入拓撲的結構,將其作為極限來嚴格地說明。需要注意的是,適合的拓撲結構不止一個。
- 我們可以在 上定義離散拓撲的結構,然後將 作為可數個 的積空間,將其上的拓撲定義為積拓撲。
- 我們也可以直接在 上定義類似於p進數拓撲的 進拓撲,其中的 是環結構中由 生成的理想,也就是由所有 形式的形式冪級數構成的集合。
- 對不熟悉一般的點集拓撲學的讀者,也可以建立一個具體的度量(也就是定義「距離」)來定義拓撲。比如定義兩個數列 和 的距離:
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其中 表示數列 中第一個不等於0的係數的下標。這樣的定義之下,我們說兩個數列如果越來越「接近」,那麼第一個係數不同的地方會出現的越晚,也就是說它們的距離也越小。對一個數列 ,定義部分和數列為:
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那麼部分和 和 的距離就會是 ,所以 趨於無窮大的時候,部分和數列和 的距離趨於0. 這樣,在定義了有限項非零元的數列和多項式的關係以後,就可以將任意的數列定義為部分和數列的極限。
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然後對形式冪級數也定義類似的距離:
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然後形式冪級數也就滿足:
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並且可以驗證加法、乘法的交換律和結合律,以及乘法對加法的分配律。於是我們定義出了一個同構於 的拓撲環,將其稱為 上的形式冪級數環 。