彭尼的遊戲(Penney's game)沃爾特·彭尼Walter Penney英語Walter Penney)提出,是一個兩個玩家之間生成用「正面」和「反面」為代稱產生二進制數列的遊戲。玩家A報出至少包含3個項、每項只能是正面或反面的序列,然後展示給玩家B;玩家B則給出等長的正面反面序列。隨後, 投擲一面均勻的硬幣,觀察正反,直至投擲出一段序列剛好和某個玩家的序列吻合,則該名玩家獲勝。

將序列中每個正面或者反面的判斷稱為比特(bit),使用長度為3比特的序列,玩家B相對玩家A有優勢。這是因為這個遊戲是一個非傳遞博弈,所以無論如何選定第一個序列,總會有一個序列有更大的獲勝概率。

長度為3bit的遊戲分析

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長度為3比特的遊戲中,第二名玩家可以通過以下途徑最大化其勝算(odds):

(H表示正面朝上,T表示反面朝上)

1號玩家 2號玩家 2號玩家勝算
HHH THH 7:1
HHT THH 3:1
HTH HHT 2:1
HTT HHT 2:1
THH TTH 2:1
THT TTH 2:1
TTH HTT 3:1
TTT HTT 7:1

簡單的來說,對於2號玩家可以記下如下的序列作為獲勝的技巧或者是討喜的技巧(bar trick):第一個比特與1號玩家的第二個比特相反,第二個比特與1號玩家的第一個比特相同,第三個比特與1號玩家的第二個比特相同。

如果1號玩家選擇了1-2-3為順序編號的序列,每個編號代表一個比特(正面/反面),
那麼2號玩家則應該選擇:(與2相反)-1-2 [1]

這一結果有一個直觀的解釋:依照這種方法,當1號玩家猜測的前兩比特剛好對上時,2號玩家的後兩比特也對上,而1號玩家仍需要再猜測一輪才知曉是否勝利,直覺上而言,認為2號玩家更可能先猜全序列而成為贏家。[1]

3bit以上情形分析

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在比特不小於4時1號玩家的優化策略由J.A. Csirik提出的(見參考資料)。這一策略即是選擇HTTTT.....TTTHH(  T's)這樣的序列。在此情形下,2號玩家的最大勝率為 

帶撲克牌的變種

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其中一種變種使用一套普通的撲克牌,被稱為Humble-Nishiyama隨機性遊戲。該遊戲遵從與彭尼的遊戲同樣的格式,只不過把猜正反改成猜紅牌黑牌。[2][3]

遊戲規則如下:

遊戲開始時,各玩家決定在遊戲中使用的對於連續三張卡片的顏色猜測順序。每次抽出一張卡片,並按順序放成一線,直至被選的三聯順序出現。選中這一順序的玩家拿走最後對上的三張牌, 稱為拿到1個「trick」。遊戲用餘下牌繼續,直至玩家不斷地拿到「trick」所有牌被拿完為止。拿了最多「trick」的玩家即為贏家。

這一遊戲通常會包含7個「trick」。基於撲克牌的遊戲非常接近於原先遊戲的重複,2號玩家的優勢被極大地放大。但是概率有略微不同,因為投硬幣得到的兩個結果是獨立的,而取出紅牌於黑牌的概率取決於之前的抽牌。記紅為R,黑為B,正面為H,反面為T,可以注意到HHT對比HTH和HTT的概率比是2:1,但BBR對比BRB和BRR的概率比各不相同。

以下為電腦模擬對每種策略的結果的估算概率:[4]

1號玩家 2號玩家 1號玩家勝算 2號玩家勝算 平局概率
BBB RBB 0.11% 99.49% 0.40%
BBR RBB 2.62% 93.54% 3.84%
BRB BBR 11.61% 80.11% 8.28%
BRR BBR 5.18% 88.29% 6.53%
RBB RRB 5.18% 88.29% 6.53%
RBR RRB 11.61% 80.11% 8.28%
RRB BRR 2.62% 93.54% 3.84%
RRR BRR 0.11% 99.49% 0.40%

如果遊戲在多於1個trick時結束,平局概率微乎其微。2號玩家的勝率如下表所示:

1號玩家 2號玩家 2號玩家勝算
BBB RBB 7.50:1
BBR RBB 3.08:1
BRB BBR 1.99:1
BRR BBR 2.04:1
RBB RRB 2.04:1
RBR RRB 1.99:1
RRB BRR 3.08:1
RRR BRR 7.50:1

帶輪盤的變體

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Robert W. Vallin以及後來他和Aaron M. Montgomery一起發表了有關賭便士問題的研究結果。他們把這一遊戲改編為(美式)輪盤,玩家們通過選擇紅色或黑色,而不是硬幣的正面反面,來進行遊戲。這種情況下,球落在紅色與黑色區域的概率各為9/19,而球落在綠色區域的概率為1/19。綠色區域有很多解讀方式:

(1)作為狀況外卡牌,既可以當黑也可以當紅;
(2)意即本輪無效須重來,或者遊戲直接結束;
(3)作為一種非紅非黑的顏色參與到序列中。

其研究結果計算了勝算與結束遊戲所需要的回合數。[5]

參見

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參考資料

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  1. ^ 1.0 1.1 Predicting a coin toss頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) by 'Scam School' (on YouTube)
  2. ^ Winning Odds頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) by Yutaka Nishiyama and Steve Humble
  3. ^ Humble-Nishiyama Randomness Game - A New Variation on Penney’s Coin Game頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) on CiteSeer
  4. ^ Results are broadly in line with those in Steve Humble and Yutaka Nishiyama, Humble-Nishiyama Randomness Game Mathematics Today August 2010 p 143 - A new variation on Penney’s Coin Game [1]頁面存檔備份,存於互聯網檔案館
  5. ^ Jennifer Beineke; Jason Rosenhouse; Robert W. Vallin. The Mathematics of Various Entertaining Subjects: Research in Games, Graphs, Counting, and Complexity, Volume 2. Princeton: Princeton University Press. 2017-09-05. ISBN 9780691171920.