彭尼的游戏(Penney's game)沃尔特·彭尼Walter Penney英语Walter Penney)提出,是一个两个玩家之间生成用“正面”和“反面”为代称产生二进制数列的游戏。玩家A报出至少包含3个项、每项只能是正面或反面的序列,然后展示给玩家B;玩家B则给出等长的正面反面序列。随后, 投掷一面均匀的硬币,观察正反,直至投掷出一段序列刚好和某个玩家的序列吻合,则该名玩家获胜。

将序列中每个正面或者反面的判断称为比特(bit),使用长度为3比特的序列,玩家B相对玩家A有优势。这是因为这个游戏是一个非传递博弈,所以无论如何选定第一个序列,总会有一个序列有更大的获胜概率。

长度为3bit的游戏分析

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长度为3比特的游戏中,第二名玩家可以通过以下途径最大化其胜算(odds):

(H表示正面朝上,T表示反面朝上)

1号玩家 2号玩家 2号玩家胜算
HHH THH 7:1
HHT THH 3:1
HTH HHT 2:1
HTT HHT 2:1
THH TTH 2:1
THT TTH 2:1
TTH HTT 3:1
TTT HTT 7:1

简单的来说,对于2号玩家可以记下如下的序列作为获胜的技巧或者是讨喜的技巧(bar trick):第一个比特与1号玩家的第二个比特相反,第二个比特与1号玩家的第一个比特相同,第三个比特与1号玩家的第二个比特相同。

如果1号玩家选择了1-2-3为顺序编号的序列,每个编号代表一个比特(正面/反面),
那么2号玩家则应该选择:(与2相反)-1-2 [1]

这一结果有一个直观的解释:依照这种方法,当1号玩家猜测的前两比特刚好对上时,2号玩家的后两比特也对上,而1号玩家仍需要再猜测一轮才知晓是否胜利,直觉上而言,认为2号玩家更可能先猜全序列而成为赢家。[1]

3bit以上情形分析

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在比特不小于4时1号玩家的优化策略由J.A. Csirik提出的(见参考资料)。这一策略即是选择HTTTT.....TTTHH(  T's)这样的序列。在此情形下,2号玩家的最大胜率为 

带扑克牌的变种

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其中一种变种使用一套普通的扑克牌,被称为Humble-Nishiyama随机性游戏。该游戏遵从与彭尼的游戏同样的格式,只不过把猜正反改成猜红牌黑牌。[2][3]

游戏规则如下:

游戏开始时,各玩家决定在游戏中使用的对于连续三张卡片的颜色猜测顺序。每次抽出一张卡片,并按顺序放成一线,直至被选的三联顺序出现。选中这一顺序的玩家拿走最后对上的三张牌, 称为拿到1个“trick”。游戏用余下牌继续,直至玩家不断地拿到“trick”所有牌被拿完为止。拿了最多“trick”的玩家即为赢家。

这一游戏通常会包含7个“trick”。基于扑克牌的游戏非常接近于原先游戏的重复,2号玩家的优势被极大地放大。但是概率有略微不同,因为投硬币得到的两个结果是独立的,而取出红牌于黑牌的概率取决于之前的抽牌。记红为R,黑为B,正面为H,反面为T,可以注意到HHT对比HTH和HTT的概率比是2:1,但BBR对比BRB和BRR的概率比各不相同。

以下为电脑模拟对每种策略的结果的估算概率:[4]

1号玩家 2号玩家 1号玩家胜算 2号玩家胜算 平局概率
BBB RBB 0.11% 99.49% 0.40%
BBR RBB 2.62% 93.54% 3.84%
BRB BBR 11.61% 80.11% 8.28%
BRR BBR 5.18% 88.29% 6.53%
RBB RRB 5.18% 88.29% 6.53%
RBR RRB 11.61% 80.11% 8.28%
RRB BRR 2.62% 93.54% 3.84%
RRR BRR 0.11% 99.49% 0.40%

如果游戏在多于1个trick时结束,平局概率微乎其微。2号玩家的胜率如下表所示:

1号玩家 2号玩家 2号玩家胜算
BBB RBB 7.50:1
BBR RBB 3.08:1
BRB BBR 1.99:1
BRR BBR 2.04:1
RBB RRB 2.04:1
RBR RRB 1.99:1
RRB BRR 3.08:1
RRR BRR 7.50:1

带轮盘的变体

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Robert W. Vallin以及后来他和Aaron M. Montgomery一起发表了有关赌便士问题的研究结果。他们把这一游戏改编为(美式)轮盘,玩家们通过选择红色或黑色,而不是硬币的正面反面,来进行游戏。这种情况下,球落在红色与黑色区域的概率各为9/19,而球落在绿色区域的概率为1/19。绿色区域有很多解读方式:

(1)作为状况外卡牌,既可以当黑也可以当红;
(2)意即本轮无效须重来,或者游戏直接结束;
(3)作为一种非红非黑的颜色参与到序列中。

其研究结果计算了胜算与结束游戏所需要的回合数。[5]

参见

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参考资料

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  1. ^ 1.0 1.1 Predicting a coin toss页面存档备份,存于互联网档案馆) by 'Scam School' (on YouTube)
  2. ^ Winning Odds页面存档备份,存于互联网档案馆) by Yutaka Nishiyama and Steve Humble
  3. ^ Humble-Nishiyama Randomness Game - A New Variation on Penney’s Coin Game页面存档备份,存于互联网档案馆) on CiteSeer
  4. ^ Results are broadly in line with those in Steve Humble and Yutaka Nishiyama, Humble-Nishiyama Randomness Game Mathematics Today August 2010 p 143 - A new variation on Penney’s Coin Game [1]页面存档备份,存于互联网档案馆
  5. ^ Jennifer Beineke; Jason Rosenhouse; Robert W. Vallin. The Mathematics of Various Entertaining Subjects: Research in Games, Graphs, Counting, and Complexity, Volume 2. Princeton: Princeton University Press. 2017-09-05. ISBN 9780691171920.