摩爾-彭若斯廣義逆

摩爾－彭若斯廣義逆（英語：Moore–Penrose pseudoinverse），通常標記為$A^{\dagger }$或$A^{+}$，是著名的廣義逆矩陣之一。

1903年，埃里克伊姆（Erik Ivar Fredholm）提出積分算子的偽逆的概念。摩爾－彭若斯廣義逆先後被以利亞金·黑斯廷斯·摩爾（Eliakim Hastings Moore）（1920年）、阿恩·布耶哈馬（Arne Bjerhammar）（1951年） 、羅傑·彭羅斯（1955年）發現或描述。

它常被用於求得或簡化非一致線性方程組的最小範數最小平方解（最小平方法）。

矩陣的摩爾－彭若斯廣義逆在實數域和複數域上都是唯一的，並且可以通過奇異值分解求得。

定義

定義一

令P_S表示到向量空間S上的正交投影。對於任意一個m乘n的複矩陣A，設R(A)表示A的值域空間。摩爾於1935年證明矩陣A的廣義逆矩陣G必須滿足的條件：

${\boldsymbol {AG}}={\boldsymbol {P}}_{R({\boldsymbol {A}})},{\boldsymbol {GA}}={\boldsymbol {P}}_{R({\boldsymbol {A_{H}}})}$

以上兩個條件稱為摩爾條件。滿足摩爾條件的矩陣G稱為矩陣A的摩爾逆矩陣。

定義二

彭若斯於1955年提出了定義廣義逆矩陣的另外一組條件：

1. ${\boldsymbol {AGA}}={\boldsymbol {A}}$， ${\boldsymbol {AG}}$不一定是單位矩陣，但卻不會改變${\boldsymbol {A}}$的列向量。
2. ${\boldsymbol {GAG}}={\boldsymbol {G}}$， ${\boldsymbol {G}}$是乘法半群的弱逆
3. $({\boldsymbol {AG}})^{\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {AG}}$， ${\boldsymbol {AG}}$是埃爾米特矩陣
4. $({\boldsymbol {GA}})^{\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {GA}}$， ${\boldsymbol {GA}}$也是埃爾米特矩陣

以上四個條件常稱摩爾-彭若斯條件。滿足全部四個條件的矩陣G，就稱為A的摩爾－彭若斯廣義逆矩陣。

性質

從摩爾－彭若斯條件出發，彭若斯推導出了摩爾－彭若斯廣義逆的一些性質：

• $({\boldsymbol {A}}^{H})^{\dagger }=({\boldsymbol {A}}^{\dagger })^{H}$
• ${\boldsymbol {A}}^{\dagger }{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{H}={\boldsymbol {A}}^{H}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\dagger }={\boldsymbol {A}}^{H}$
• ${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{H}({\boldsymbol {A}}^{H})^{\dagger }=({\boldsymbol {A}}^{H})^{\dagger }{\boldsymbol {A}}^{H}{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}$
• ${\boldsymbol {A}}^{\dagger }{\boldsymbol {A}}$，${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\dagger }$，$({\boldsymbol {I}}-{\boldsymbol {A}}^{\dagger }{\boldsymbol {A}})$和$({\boldsymbol {I}}-{\boldsymbol {A}}^{\dagger }{\boldsymbol {A}})$都是冪等矩陣。

存在性和唯一性

偽逆存在且唯一：對於任何矩陣$A$，恰好有一個矩陣$A^{\dagger }$滿足定義的四個性質。

滿足該定義的第一個條件的矩陣被稱為廣義逆。如果該矩陣也滿足第二個定義，它就被稱為廣義反身逆陣（generalized reflexive inverse）。廣義逆矩陣總存在，但一般不唯一。唯一性是最後兩個條件的結果。

基本性質

這些性質的證明可以在維基教科書中找到。

• 如果 $A$ 有實數項，那麼 $A^{\dagger }$也有。
• 如果 $A$ 是可逆的，它的偽逆就是它的逆矩陣，即： $A^{\dagger }=A^{-1}$.
• 零矩陣的偽逆是它的轉置。
• 矩陣偽逆的偽逆是原矩陣，即： $\left(A^{\dagger }\right)^{\dagger }=A$.
• 偽轉置與轉置、複共軛和共軛轉置可以交換：

  $\left(A^{\textsf {T}}\right)^{\dagger }=\left(A^{\dagger }\right)^{\textsf {T}}$, $\left({\overline {A}}\right)^{\dagger }={\overline {A^{\dagger }}}$, $\left(A^{*}\right)^{\dagger }=\left(A^{\dagger }\right)^{*}$.

• 矩陣 $A$ 的純量乘法的偽逆是 $A^{\dagger }$ 的純量的倒數的乘法：

  $\left(\alpha A\right)^{\dagger }=\alpha ^{-1}A^{\dagger }$ 對於 $\alpha \neq 0$.

恆等式

下面的恆等式可以用來判定部分涉及偽逆的子表達式的正確性：

$$A={}A{}A^{*}{}A^{\dagger *}{}={}A^{\dagger *}{}A^{*}{}A$$

同樣的，將 $A^{\dagger }$ 替換為 $A$ 會得到：

$$A^{\dagger }={}A^{\dagger }{}A^{\dagger *}{}A^{*}{}={}A^{*}{}A^{\dagger *}{}A^{\dagger }$$

當用 $A^{*}$ 替代 $A$ 時，會得到：

$$A^{*}={}A^{*}{}A{}A^{+}{}={}A^{+}{}A{}A^{*}.$$

埃爾米特情況

偽逆的計算可以簡化為其在埃爾米特情況下的構造，這可以通過等價關係實現：

$$A^{+}=\left(A^{*}A\right)^{+}A^{*},$$

$$A^{+}=A^{*}\left(AA^{*}\right)^{+},$$

其中$A^{*}A$ 和 $AA^{*}$ 是埃爾米特矩陣。

乘積

令$A\in \mathbb {k} ^{m\times n},\ B\in \mathbb {k} ^{n\times p}$，下列等式等價：

1. $(AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }$
2. ${\textstyle {\begin{aligned}A^{\dagger }ABB^{*}A^{*}&=BB^{*}A^{*},\\BB^{\dagger }A^{*}AB&=A^{*}AB.\end{aligned}}}$
3. ${\begin{aligned}\left(A^{\dagger }ABB^{*}\right)^{*}&=A^{\dagger }ABB^{*},\\\left(A^{*}ABB^{\dagger }\right)^{*}&=A^{*}ABB^{\dagger }.\end{aligned}}$
4. $A^{\dagger }ABB^{*}A^{*}ABB^{\dagger }=BB^{*}A^{*}A$
5. ${\begin{aligned}A^{\dagger }AB&=B(AB)^{\dagger }AB,\\BB^{\dagger }A^{*}&=A^{*}AB(AB)^{\dagger }.\end{aligned}}$

下方列出了 $(AB)^{+}=B^{+}A^{+}$的充分條件：

1. $A$ 的列單位正交（此時$A^{*}A=A^{\dagger }A=I_{n}$），或
2. $B$ 的行單位正交 （此時 $BB^{*}=BB^{\dagger }=I_{n}$） ，或
3. $A$ 的列線性無關（此時 $A^{\dagger }A=I$ ） 同時 $B$ 的行線性無關（此時 $BB^{\dagger }=I$），或
4. $B=A^{*}$，或
5. $B=A^{\dagger }$。

下方列出了 $(AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }$的必要條件：

1. $(A^{\dagger }A)(BB^{\dagger })=(BB^{\dagger })(A^{\dagger }A)$

由最後一個充分條件得出等式：

$${\begin{aligned}\left(AA^{*}\right)^{+}&=A^{+*}A^{+},\\\left(A^{*}A\right)^{+}&=A^{+}A^{+*}.\end{aligned}}$$

注意: 等式 $(AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }$ 一般不成立，例如：

$${\Biggl (}{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}}{\Biggr )}^{+}={\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}^{+}={\begin{pmatrix}{\tfrac {1}{2}}&0\\{\tfrac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}\quad \neq \quad {\begin{pmatrix}{\tfrac {1}{4}}&0\\{\tfrac {1}{4}}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\tfrac {1}{2}}\\0&{\tfrac {1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\tfrac {1}{2}}&0\\{\tfrac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}}^{+}{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}^{+}$$

投影

$P=AA^{\dagger }$ 和 $Q=A^{\dagger }A$ 是正交投影算子，即它們是埃爾米特矩陣（$P=P^{*}$，$Q=Q^{*}$）和冪等矩陣（$P^{2}=P$，$Q^{2}=Q$）。以下性質成立：

• $PA=AQ=A$ ，$A^{\dagger }P=QA^{\dagger }=A^{\dagger }$
• $P$ 是正交投影算子，投影到 $A$ 的值域（也就是 $A^{*}$ 的核的正交補餘空間）。
• $Q$ 是正交投影算子，投影到 $A^{*}$ 的值域（也就是 $A$ 的核的正交補餘空間）。
• $(I-Q)=\left(I-A^{\dagger }A\right)$ 是正交投影算子，投影到 $A$ 的核。
• $(I-P)=\left(I-AA^{\dagger }\right)$ 是正交投影算子，投影到 $A^{*}$ 的核。

最後兩條性質隱含了下列等式：

• $A\,\ \left(I-A^{\dagger }A\right)=\left(I-AA^{\dagger }\right)A\ \ =0$
• $A^{*}\left(I-AA^{\dagger }\right)=\left(I-A^{\dagger }A\right)A^{*}=0$

如果 $A\in \mathbb {k} ^{n\times n}$ 是埃爾米特矩陣和冪等矩陣（當且僅當它為正交投影矩陣），則對於任意矩陣 $B\in \mathbb {k} ^{m\times n}$ ，下式成立：

$$A(BA)^{\dagger }=(BA)^{\dagger }$$

這一條性質可以如此證明：定義矩陣 $C=BA$, $D=A(BA)^{\dagger }$，當 $A$ 是埃爾米特矩陣和冪等矩陣時，通過驗證偽逆的性質可以檢查 $D$ 確實是 $C$ 的一個偽逆。從上一條性質可以看出，當 $A\in \mathbb {k} ^{n\times n}$ 是埃爾米特矩陣和冪等矩陣時，對於任意矩陣 $B\in \mathbb {k} ^{n\times m}$

$$(AB)^{\dagger }A=(AB)^{\dagger }$$

當 $A$ 是一個正交投影矩陣，則它的偽逆就是它自身，即 $A^{\dagger }=A$。

幾何結構

如果我們把矩陣看作是一個在數體 $\mathbb {k}$ 上的線性映射 $A:\mathbb {k} ^{n}\to \mathbb {k} ^{m}$， 那麼 $A^{\dagger }:\mathbb {k} ^{m}\to \mathbb {k} ^{n}$ 可以被分解如下。首先定義符號： $\oplus$ 表示直和， $\perp$ 表示正交補餘，$\ker$ 表示映射的核， $\operatorname {ran}$ 表示映射的像。注意 $\mathbb {k} ^{n}=\left(\ker A\right)^{\perp }\oplus \ker A$ 和 $\mathbb {k} ^{m}=\operatorname {ran} A\oplus \left(\operatorname {ran} A\right)^{\perp }$。 限制條件 $A:\left(\ker A\right)^{\perp }\to \operatorname {ran} A$ 則是一個同構。這意味着 $A^{\dagger }$ 在 $\operatorname {ran} A$ 上時這個同構的逆，在 $\left(\operatorname {ran} A\right)^{\perp }$ 上則是零。

換而言之，對於給定的 $b\in \mathbb {k} ^{m}$ 要找到 $A^{\dagger }b$，首先將 $b$ 正交投影在 $A$ 的值域中，找到點 $p(b)$，然後構建 $A^{-1}(\{p(b)\})$，即就是在 $\mathbb {k} ^{n}$ 中，會被 $A$ 投影到 $p(b)$ 的點。這是 $\mathbb {k} ^{n}$ 的一個平行於 $A$ 的核的仿射子空間。這個子空間中長度最小的元素（也就是最靠近原點的元素），就是我們尋找的 $A^{+}b$ 的解。它可以通過從 $A^{-1}(\{p(b)\})$ 中選擇任意元素，並將其投影在 $A$ 的核的正交補餘空間而得到。

以上描述與線性系統的最小範數解密切相關。

子空間

$${\begin{aligned}\ker \left(A^{+}\right)&=\ker \left(A^{*}\right)\\\operatorname {ran} \left(A^{+}\right)&=\operatorname {ran} \left(A^{*}\right)\end{aligned}}$$

極限

偽逆可以由極限定義：

$$A^{\dagger }=\lim _{\delta \searrow 0}\left(A^{*}A+\delta I\right)^{-1}A^{*}=\lim _{\delta \searrow 0}A^{*}\left(AA^{*}+\delta I\right)^{-1}$$

（參見吉洪諾夫正則化）。當 $\left(AA^{*}\right)^{-1}$ 或 $\left(A^{*}A\right)^{-1}$不存在時，這些極限仍然存在。

連續性

與一般的矩陣求逆不同，求偽逆的過程並不連續：如果序列 $\left(A_{n}\right)$ 收斂到矩陣 $A$ （在最大範數或弗比尼斯範數意義下），則 $(A_{n})^{\dagger }$ 不一定收斂於 $A^{\dagger }$. 然而，如果所有的矩陣 $A_{n}$ 與 $A$ 有相同的秩，則 $(A_{n})^{\dagger }$ 將收斂於 $A^{\dagger }$.

導數關係

實值偽逆矩陣的導數，該矩陣在某點$x$處具有恆定的秩 可以用原矩陣的導數來計算：

$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}A^{\dagger }(x)=-A^{\dagger }\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}A\right)A^{\dagger }~+~A^{\dagger }A^{\dagger {\textsf {T}}}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}A^{\textsf {T}}\right)\left(I-AA^{\dagger }\right)~+~\left(I-A^{\dagger }A\right)\left({\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}A^{\textsf {T}}\right)A^{\dagger {\textsf {T}}}A^{\dagger }$$

例子

對於可逆矩陣，其廣義逆為其一般的逆矩陣，所以以下僅舉一些不可逆矩陣的例子。

• 對於$A={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$，其廣義逆矩陣為$A^{\dagger }={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$（通常零矩陣的廣義逆矩陣為其轉置）。該廣義逆矩陣的唯一性可以認為時由性質$A^{\dagger }=A^{\dagger }AA^{\dagger }$得出的，因為與零矩陣相乘總會得到零矩陣。
• 對於$A={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}$，其廣義逆矩陣為 $A^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}$。
  • 事實上，$A\,A^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$，所以 $A\,A^{\dagger }A={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}=A$。
  • 類似的， $A^{\dagger }A={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$，由此 $A^{\dagger }A\,A^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}=A^{\dagger }$。
• 對於$A={\begin{pmatrix}1&0\\-1&0\end{pmatrix}}$，其廣義逆矩陣為$A^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}$。
• 對於$A={\begin{pmatrix}1&0\\-1&0\end{pmatrix}}$，其廣義逆矩陣為$A^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}$。
• 對於$A={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}$，其廣義逆矩陣為$A^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}$。
• 對於$A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&1\end{pmatrix}}$，其廣義逆矩陣為 $A^{\dagger }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$ 。對於該矩陣，其左逆存在且等於$A^{\dagger }$，事實上，$A^{\dagger }A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$。

參考

書籍

• 張賢達. 矩阵分析与应用. 北京: 清華大學出版社. 2004年9月: 85–99. ISBN 7-302-09271-0 （中文）.