积分变换

(重定向自积分算子

积分变换(integral transform)是数学中作用于函数的算子,用以处理微分方程等问题。常见的有傅里叶变换拉普拉斯变换等。

概述

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以一变数 函数   为例,  经过一积分转换   得到  

 

其中   是个确定的二元函数, 称为此积分变换的核函数(kernel function)或(nucleus)。当选取不同的积分域和变换核时,就得到不同名称的积分变换。  称为象原函数,  称为   的象函数,在一定条件下,它们是一一对应而变换是可逆的。

有些积分变换有相对应的反积分变换(inverse transform),使得

 

  称为反核(inverse kernel)。

积分变换表

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积分变换 符号 核K f(t) t1 t2 反核K−1 u1 u2
阿贝尔积分变换英语Abel transform F, f   u     [1] t  
相关 Legendre 变换(Associated Legendre transform)            
傅里叶变换                
傅里叶正弦变换     on  , real-valued          
傅里叶余弦变换     on  , real-valued 0     0  
汉克尔变换   0     0  
Hartley变换英语Hartley transform              
Hermite变换英语Hermite_transform            
希尔伯特变换              
Jacobi变换英语Jacobi_transform            
Laguerre变换英语Laguerre_transform            
拉普拉斯变换   e−ut 0        
Legendre变换英语Legendre_transform_(integral_transform)            
梅林变换   tu−1 0    [2]    
双边拉普拉斯变换   e−ut          
泊松核英语Poisson kernel   0
拉东变换    
魏尔斯特拉斯变换英语Weierstrass transform              
X-ray变换英语X-ray_transform    
狄拉克δ函数            

在反积分转换中, 常数c 由积分函数决定。

参见

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  1. ^ Assuming the Abel transform is not discontinuous at  .
  2. ^ Some conditions apply, see Mellin inversion theorem for details.