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放縮法
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此條目
包含過多
行話或專業術語
,可能需要簡化或提出進一步解釋。
(
2014年7月16日
)
請在
討論頁
中發表對於本議題的看法,並移除或解釋本條目中的行話。
此條目
需要
編修
,以確保文法、
用詞、語氣
、
格式
、
標點
等使用恰當。
(
2014年7月16日
)
請按照
校對指引
,幫助
編輯
這個條目。(
幫助
、
討論
)
放縮法
是通過捨去或添加一些項來構造
不等式
的一種方法。
[
參 1
]
例子
編輯
求證
log
2
3
+
log
3
2
<
2
+
1
{\displaystyle {\sqrt {\log _{2}3}}+{\sqrt {\log _{3}2}}<{\sqrt {2}}+1}
[
注 1
]
log
2
3
+
log
3
2
<
log
2
4
+
log
3
3
=
2
+
1
{\displaystyle {\sqrt {\log _{2}3}}+{\sqrt {\log _{3}2}}<{\sqrt {\log _{2}4}}+{\sqrt {\log _{3}3}}={\sqrt {2}}+1}
[
參 2
]
已知a,b,c,d為
正數
,求證
1
<
a
a
+
b
+
d
+
b
a
+
b
+
c
+
c
b
+
c
+
d
+
d
a
+
c
+
d
<
2
{\displaystyle 1<{\frac {a}{a+b+d}}+{\frac {b}{a+b+c}}+{\frac {c}{b+c+d}}+{\frac {d}{a+c+d}}<2}
a
a
+
b
+
d
+
b
a
+
b
+
c
+
c
b
+
c
+
d
+
d
a
+
c
+
d
>
a
a
+
b
+
c
+
d
+
b
a
+
b
+
c
+
d
+
c
a
+
b
+
c
+
d
+
d
a
+
b
+
c
+
d
=
1
{\displaystyle {\frac {a}{a+b+d}}+{\frac {b}{a+b+c}}+{\frac {c}{b+c+d}}+{\frac {d}{a+c+d}}>{\frac {a}{a+b+c+d}}+{\frac {b}{a+b+c+d}}+{\frac {c}{a+b+c+d}}+{\frac {d}{a+b+c+d}}=1}
a
a
+
b
+
d
+
b
a
+
b
+
c
+
c
b
+
c
+
d
+
d
a
+
c
+
d
<
a
a
+
b
+
b
a
+
b
+
c
c
+
d
+
d
c
+
d
=
2
{\displaystyle {\frac {a}{a+b+d}}+{\frac {b}{a+b+c}}+{\frac {c}{b+c+d}}+{\frac {d}{a+c+d}}<{\frac {a}{a+b}}+{\frac {b}{a+b}}+{\frac {c}{c+d}}+{\frac {d}{c+d}}=2}
[
參 3
]
求證
∑
k
=
1
n
1
k
2
<
2
−
1
n
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}<2-{\frac {1}{n}}}
∑
k
=
1
n
1
k
2
<
1
+
∑
k
=
2
n
1
k
(
k
−
1
)
=
1
+
∑
k
=
2
n
1
k
−
1
−
1
k
=
2
−
1
n
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}<1+\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k(k-1)}}=1+\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k-1}}-{\frac {1}{k}}=2-{\frac {1}{n}}}
[
注 2
]
[
參 2
]
設
n
∈
N
+
{\displaystyle n\in N^{+}}
,求證
n
(
n
+
1
)
2
<
∑
k
=
1
n
k
(
k
+
1
)
<
(
n
+
1
)
2
2
{\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}<\sum _{k=1}^{n}{\sqrt {k(k+1)}}<{\frac {(n+1)^{2}}{2}}}
k
=
k
2
<
k
(
k
+
1
)
<
k
2
+
k
+
1
4
=
k
+
1
2
{\displaystyle k={\sqrt {k^{2}}}<{\sqrt {k(k+1)}}<{\sqrt {k^{2}+k+{\frac {1}{4}}}}=k+{\frac {1}{2}}}
n
(
n
+
1
)
2
=
∑
k
=
1
n
k
<
∑
k
=
1
n
k
(
k
+
1
)
<
∑
k
=
1
n
(
k
+
1
2
)
=
n
2
+
2
n
2
<
(
n
+
1
)
2
2
{\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}k<\sum _{k=1}^{n}{\sqrt {k(k+1)}}<\sum _{k=1}^{n}(k+{\frac {1}{2}})={\frac {n^{2}+2n}{2}}<{\frac {(n+1)^{2}}{2}}}
[
注 3
]
[
參 3
]
設a,b,c為
直角三角形
的三邊,c為
斜邊
,求證:
a
n
+
b
n
<
c
n
(
n
>
2
)
{\displaystyle a^{n}+b^{n}<c^{n}(n>2)}
a
n
+
b
n
=
a
2
a
n
−
2
+
b
2
b
n
−
2
<
a
2
c
n
−
2
+
b
2
c
n
−
2
=
c
n
(
n
>
2
)
{\displaystyle a^{n}+b^{n}=a^{2}a^{n-2}+b^{2}b^{n-2}<a^{2}c^{n-2}+b^{2}c^{n-2}=c^{n}(n>2)}
[
注 4
]
[
參 2
]
備註
編輯
^
log為
對數
函數
^
這裏用了
裂項和
的求和方法
^
這裏用了
等冪求和
的求和方法
^
這裏用了
勾股定理
參考資料
編輯
^
用放缩法证明不等式
. (
原始內容
存檔於2014-07-26).
^
2.0
2.1
2.2
董衛平.
说说放缩法
. 數學大世界(高中). 2011, (2)
[
2015-09-20
]
. (原始內容
存檔
於2016-03-04).
^
3.0
3.1
例谈不等式证明的十种常用方法
.
[
2014-07-16
]
. (原始內容
存檔
於2014-07-20).