極限點

極限點（英語：Limit point）在數學中是指可以被集合S中的點隨意逼近的點。

這個概念有益的推廣了極限的概念，並且是諸如閉集和拓撲閉包等概念的基礎。實際上，一個集合是閉合的若且唯若他包含所有它的極限點，而拓撲閉包運算可以被認為是通過增加它的極限點來擴充一個集合。

定義

定義 — 
$(X,\,\tau )$ 為拓撲空間 ， $A\subseteq X$ 為$X$的子集；若對$X$ 的某點$x\in X$，所有包含 $x$ 的開集也有 $A$ 內的非 $x$ 點，即：

$(x\in X)\wedge (\forall O\in \tau )\{(x\in O)\Rightarrow (\exists a\in O)[\,(a\in A)\wedge (a\neq x)\,]\}$

則稱 $x$ 為 $A$ 的極限點（limit point）。由 $A$ 的所有極限點所組成的集合稱為 $A$ 的導集（derived set），通常記為$A^{\prime }$，換句話說：

$A^{\prime }:={\bigg \{}x\,{\bigg |}\,(x\in X)\wedge (\forall O\in \tau )\{(x\in O)\Rightarrow (\exists a\in O)[\,(a\in A)\wedge (a\neq x)\,]\}{\bigg \}}$

以上的定義來自於「總是可以找到一組$A$ 內的點去逼近$x$ 」的粗略想法，但一般的拓撲空間的不一定有像距離這樣的工具來比較「開集的大小」，若想以極限點嚴謹地描述「可沿着 $A$ 去逼近點$x$」的話，還需要對$(X,\,\tau )$做額外的假設。

特殊類型的極限點

定義 — 
$(X,\,\tau )$ 為拓撲空間 ， $A\subseteq X$ 為$X$的子集：

若包含$x$的所有開集都包含可數個$A$ 的點，則稱$x$是$A$的ω‐會聚點（ω‐accumulation point）。

若包含$x$ 的所有開集都包含不可數個$A$的點，則稱$x$是$A$的縮合點（condensation point）。

度量空間的聚集點

度量空間$M$ 自然的帶有由度量$d:M\times M\to \mathbb {R} ^{+}$生成的拓撲 $\tau _{d}$ ；更仔細地說，是由以開球為元素的拓撲基所生成的拓撲，也就是$\tau _{d}$裏的開集都是某群開球的聯集。這樣對開球定義極限點的話，就會等價於對$\tau _{d}$定義（因為屬於某個開球等價於屬於某開集），換句話說，對度量空間可以作如下定義：

定義 — 
$(M,\,d)$是度量空間 ，且 $A\subseteq M$ ；若 $x\in M$ ，且對所有 $\epsilon >0$，存在 $a\in A$ 使得 $0<d(x,\,a)<\epsilon$ ，也就是

$(x\in M)\wedge (\forall \epsilon >0)(\exists a\in A)[\,0<d(x,\,a)<\epsilon \,]$

這樣稱 $x$ 是 $A$  的聚集點（cluster point）或會聚點（accumulation point）

直觀上可理解為「可以用 $A$ 裏的點（以度量 $d$ ）無限制地逼近$x$」。應用上， $x$ 為定義域的聚集點也是函數極限能在 $x$ 上有定義的前提條件。

在度量空間中，ω‐會聚點與普通的極限點定義等價

性質

• 關於極限點的性質：$x$是$S$的極限點，若且唯若它屬於$S$ \ {$x$}的閉包。
  • 證明：根據閉包定義，某點屬於某集合的閉包，若且唯若該點的所有鄰域都和該集合相交。則有：x是$S$的極限點，若且唯若所有$x$的鄰域都包含一個非$x$的點屬於S，若且唯若所有$x$的鄰域含有一個點屬於$S$\ {x}，若且唯若$x$屬於$S\ {''x''}$的閉包。

• $S$的閉包具有下列性質：$S$的閉包等於$S$和其導集的併集。
  • 證明：（從左到右）設$x$屬於$S$的閉包。若$x$屬於S，命題成立。若$x\notin S$，則所有$x$的鄰域都含有一個非$x$的點屬於$S$；也就是說，x是$S$的極限點，$x\in S'$。（從右到左）設$x$屬於S，則明顯地所有$x$的鄰域和$S$相交，所以$x$屬於$S$的閉包。若$x$屬於L(S)，則所有$x$的鄰域都含有一個非$x$的點屬於S，所以$x$也屬於$S$的閉包。得證。

• 上述結論的推論給出了閉集的性質：集合$S$是閉集，若且唯若它含有所有它的極限點。
  • 證明1：S是閉集，若且唯若$S$等於其閉包，若且唯若$S$=$S$∪ L(S)，若且唯若L(S)包含於S。
  • 證明2：設$S$是閉集，$x$是$S$的極限點。則$x$必須屬於S，否則$S$的補集為$x$的開鄰域，和$S$不相交。相反，設$S$包含所有它的極限點，需要證明$S$的補集是開集。設$x$屬於$S$的補集。根據假設，x不是極限點，則存在$x$的開鄰域U和$S$不相交，則U在$S$的補集中，則$S$的補集是開集。

• 孤點不是任何集合的極限點。
  • 證明：若$x$是孤點，則{x}是只含有$x$的$x$的鄰域。

• 空間$x$是離散空間，若且唯若$x$的子集都沒有極限點。
  • 證明：若$x$是離散空間，則所有點都是孤點，不能是任何集合的極限點。相反，若$x$不是離散空間，則單元素集合{x}不是開集。那麼，所有{x}的鄰域都含有點y ≠ x，則$x$是$x$的極限點。

• 若空間$x$有密着拓撲，且$S$是$x$的多於一個元素的子集，則$x$的所有元素都是$S$的極限點。若$S$是單元素集合，則所有$x$\$S$的點仍然是$S$的極限點。
  • 說明：只要$S$\ {x}非空，它的閉包就是X；只有當$S$是空集或$x$是$S$的唯一元素時，它的閉包才是空集。
• $X$為T₁空間，則 $x$ 為$A\subseteq X$ 的極限點等價於 $x$ 的每個鄰域皆包含無限多個 $A$ 的點。

引用

• limit point. PlanetMath.