在數學上,以法國數學家奧古斯丁·路易·柯西命名的柯西乘積,是指兩組數列
的離散卷積。
![{\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398c98db070e6215552309fd6e44b8c1b5741c1a)
該數列乘積被認為是自然數
的半群環的元素。
一個特別重要的例子是考慮兩個嚴格的形式級數(不需要收斂) :
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一般地,對於實數和複數,柯西乘積定義為如下的離散卷積形式:
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- 這裏
「形式」是指我們對級數運算時不考慮是否收斂,參見形式冪級數。
人們希望,通過對兩組級數做實際卷積的有限和的類推,得到無窮級數
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等於如下乘積:
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就如同兩個數列的和是有限範圍一樣做乘法。
在充分良態的情況下,上述式子成立。而更重要的一點,儘管這兩個無窮級數可能不收斂,它們的柯西乘積仍可能存在。
對於 、 ,有 , 即為有窮級數,則 和 柯西乘積可以展開為 ,因此可以直接計算乘積。
- 對某些 ,構造 和 ,由定義和二項式展開可知:
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形式上, , ,我們已表明 。由於該兩個絕對收斂數列的柯西乘積等於兩個數列極限的乘積,(見下面的證明),因此我們就可證明這個表達式對於 有
- 另外一個例子,令 ( ),則 對所有 成立,則柯西乘積 ,該乘積不收斂。
令x, y為實數數列,弗蘭茲·梅爾滕斯(Franz Mertens)提出,如果級數 收斂到Y,且級數 絕對收斂到X,則他們的柯西乘積 收斂到XY。
對於兩個級數為條件收斂時,結論未必成立。如下反例所示:
考慮下述兩交錯級數:
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它們都是收斂的(其絕對值構成的級數因比較審斂法和調和級數的發散性而發散)。其柯西乘積的項由下式給出:
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其中整數 n ≥ 0。因為對於所有 k ∈ {0, 1, ..., n} 我們都有不等式 k + 1 ≤ n + 1 及 n – k + 1 ≤ n + 1,故對分母中的根式有 √(k + 1)(n − k + 1) ≤ n +1。因此,由於共有 n + 1 個被加項,故對於所有的整數 n ≥ 0有
-
因此,cn 在 n → ∞ 時並不趨於 0,級數 ∑ cn 發散(項測試)。
令 , , , (重排後)。
則 ,對任意給定的 ε > 0,因為 絕對收斂, 收斂,因此存在一個整數N,對於任意n ≥ N ,和存在一個正整數M,對於所有 ,有 (由級數絕對收斂,則式子收斂到0),同樣的,存在一個整數L ,如果有 ,則 。
因此,對於所有n大於N, M, L,有:
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根據收斂的定義,即:
所有上述證明也可推廣到 複數級數。柯西乘積可以定義在乘法為內積的歐式空間 上。這種情況下,如果兩組數列絕對收斂,則柯西乘積絕對收斂到數列極限的內積
。
我們可以定義柯西乘積為雙向無限數列,視為 上的函數。這種情況並非總能定義柯西乘積。例如:常數級數1和其本身的柯西乘積, 。
有的有一些配對,比如任何級數與一個有限級數的乘積, 的乘積,這與Lp空間有關。