牛頓-皮普斯問題

牛頓-皮普斯問題是一個擲骰子的概率問題。塞繆爾·皮普斯1693年向艾薩克·牛頓諮詢怎樣在賭局中下注贏面更大，在信中他問道：下列三種情形哪一種概率最高：

• A.6個正常的骰子獨立投擲，至少出現1個6.
• B.12個正常的骰子獨立投擲，至少出現2個6.
• C.18個正常的骰子獨立投擲，至少出現3個6.

概率解

利用二項分佈，三個投擲實驗的概率分別為：

$P(A)=1-\left({\frac {5}{6}}\right)^{6}={\frac {31031}{46656}}\approx 0.6651\,,$

$P(B)=1-\sum _{x=0}^{1}{\binom {12}{x}}\left({\frac {1}{6}}\right)^{x}\left({\frac {5}{6}}\right)^{12-x}={\frac {1346704211}{2176782336}}\approx 0.6187\,,$

$P(C)=1-\sum _{x=0}^{2}{\binom {18}{x}}\left({\frac {1}{6}}\right)^{x}\left({\frac {5}{6}}\right)^{18-x}={\frac {15166600495229}{25389989167104}}\approx 0.5973\,.$

該類問題的通項公式，一般的，若P(N)是投擲6n個骰子得到至少n個6的概率，則：

$P(N)=1-\sum _{x=0}^{n-1}{\binom {6n}{x}}\left({\frac {1}{6}}\right)^{x}\left({\frac {5}{6}}\right)^{6n-x}\,.$

n變大時，P(N)會逐漸趨近於極限值1/2.

編程計算法

在R語言中，該問題可以用如下方法解：

p <- as.numeric(1/6)
s <- c(1, 2, 3)
for (i in s)
{
   x <- 0
   n <- 6*i
   for(j in 0:(i-1)) {x <- x + dbinom(j, n, p) }
   print(paste("Probability of at least ", i, " six in ", n, " fair dice: ", 1-x, sep=""))
}

結果會顯示為：

[1] "Probability of at least 1 six in 6 fair dice: 0.665102023319616"
[1] "Probability of at least 2 six in 12 fair dice: 0.618667373732309"
[1] "Probability of at least 3 six in 18 fair dice: 0.597345685947723"

牛頓的解釋

牛頓設想將B和C的骰子每六粒分為一組，A只可分為一組；B和C分別可分成兩組和三組，每組需要在其中一次投擲中出現6。如此可見，A的概率是最大的，因為A只需要在其中一次投擲中出現6，而B和C則分別需要重複A的過程兩次和三次。