狄利克雷卷積

在算術函數集上，可以定義一種二元運算，使得取這種運算為乘法，取普通函數加法為加法，使得算術函數集為一個交換環。其中一種這樣的運算便是狄利克雷卷積。它和一般的卷積有不少相類之處。

對於算術函數$f,g$，定義其狄利克雷卷積$(f*g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g({\frac {n}{d}})$。

取狄利克雷卷積為運算，積性函數集是算術函數集的子群。

運算

• 交換律$f*g=g*f$
• 結合律$(f*g)*h=f*(g*h)$
• 分配律$f*(g+h)=f*g+f*h=(g+h)*f$
• 存在單位函數ε使得$f=f*\epsilon =\epsilon *f$。ε(n)的值為1若n=1，否則ε(n)=0。
• 對於任意算術函數$f$，若$f(1)$不等於0，都有唯一的逆函數$f^{-1}$，使得$f*f^{-1}=\epsilon$。

$f^{-1}$的值如下：

$f^{-1}(1)={\frac {1}{f(1)}}$

對於$n>1$，$f^{-1}(n)={\frac {-1}{f(1)}}\sum _{d|n,n\neq d}f({\frac {n}{d}})f^{-1}(d)$

默比烏斯函數μ的逆函數為（一般意義上的）1，即對於$n\neq 1$，$\sum _{d|n}\mu (d)\times 1=0$。這是默比烏斯反演公式的原理。

狄利克雷卷積得名於數學家約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷。1857年約瑟夫·萊歐維爾曾發表了許多包含這個運算的恆等式。將它視為二元運算這個觀點由埃里克·坦普爾·貝爾和M.奇波拉1915年提出。

導數

若定義$f$的「導數」$f'(n)=f(n)\log(n)$，可以發現這個運算和連續實函數的導數有不少相似的地方：

• $(f+g)'=f'+g'$
• $(f*g)'=f*g'+f'*g$
• $(f^{-1})'={\frac {-f'}{f*f}}$

級數

對於算術函數$f$，定義其狄利克雷級數

$DG(f;s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}$

對於一些算術函數的狄利克雷級數，它們的積，跟那些算術函數的狄利克雷卷積的狄利克雷級數是相等的：

$DG(f;s)DG(g;s)=DG(f*g;s)\,$

這跟卷積定理很相似。

定義$f$的貝爾級數

$f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.$

也有類似的關係：

• ${(f*g)_{p}}(x)=f_{p}(x)\times g_{p}(x)$

參考

• Introduction to Analytic Number theory, Tom M. Apostol
• http://eom.springer.de/D/d130150.htm （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）