計算環繞數
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六個正交叉與兩個負交叉，這兩條曲線的環繞數為 2。 存在一個算法計算出一個鏈環圖表 的環繞數。按如下法則將每個交叉標記為「正」或「負」
[1]
正交叉數總數減去負交叉數總數等於環繞數的兩倍，即
環繞數
=
n
1
+
n
2
−
n
3
−
n
4
2
,
{\displaystyle ={\frac {n_{1}+n_{2}-n_{3}-n_{4}}{2}},\,}
這裏 n 1 , n 2 , n 3 , n 4 分別表示四類交叉數的個數。兩個和
n
1
+
n
3
{\displaystyle n_{1}+n_{3}\,\!}
n
2
+
n
4
{\displaystyle n_{2}+n_{4}\,\!}
[2]
環繞數
=
n
1
−
n
4
=
n
2
−
n
3
.
{\displaystyle =\,n_{1}-n_{4}\,=\,n_{2}-n_{3}.\,}
注意到
n
1
−
n
4
{\displaystyle n_{1}-n_{4}}
n
2
−
n
3
{\displaystyle n_{2}-n_{3}}
性質與例子
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懷特黑德鏈環兩條曲線環繞數為零。 任何兩條沒有連結起來的曲線相交數為零。但環繞數為零的兩條曲線仍可能是連結起來的（例如右圖的懷特黑德鏈環
逆轉任何一條曲線的定向，環繞數改變符號；但兩條曲線同時逆轉定向，環繞數不變。
環繞數具有手征性 ：取一個鏈環的鏡像 ，環繞數改變符號。我們對正環繞數的約定基於右手法則 。
x -y 平面上一條定向曲線的卷繞數 等於它與 z -軸（將 z -軸想像為三維球面 中一條閉曲線）的環繞數。更一般地，如果其中一條曲線是簡單 的，則這個分支的第一同調群 同構於整數 Z 。在此情形，環繞數由另一條曲線的同調類決定。
在物理學 中，環繞數是拓撲量子數 之一例，它與量子糾纏 有關。 高斯的積分定義
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給定兩條不交可微曲線
γ
1
,
γ
2
:
S
1
→
R
3
{\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}\colon S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}
環面 到單位球面 高斯映射
Γ
{\displaystyle \Gamma }
Γ
(
s
,
t
)
=
γ
1
(
s
)
−
γ
2
(
t
)
|
γ
1
(
s
)
−
γ
2
(
t
)
|
.
{\displaystyle \Gamma (s,t)={\frac {\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|}}.\,}
取單位球面上一點 v ，從而鏈環的正交投影到垂直於 v 的平面給出一個鏈環圖表。觀察到點 (s , t ) 在高斯映射下映為 v 對應於鏈環圖表中一個交叉，這裏
γ
1
{\displaystyle \gamma _{1}}
γ
2
{\displaystyle \gamma _{2}}
s , t ) 的一個鄰域在高斯映射下映為 v 的一個鄰域，保持或逆轉定向取決於交叉的符號。從而為了計算這個對應於 v 的鏈環圖表的環繞數，只需數高斯映射覆蓋 v 的帶符號次數。由於 v 是一個正則值 ，這恰是高斯映射的度數 （即 Γ 的像 蓋住球面的帶符號次數）。環繞數的同痕 不變性自動由度數在同倫下不變得到。任何其它正則值將得到相同的數，所以環繞數與任何特定的鏈環圖表無關。
曲線 γ 1 與 γ 2 的環繞數的這種表述給出了用二重線積分 表示的一個明確公式，即高斯 環繞積分
環繞數
=
ϕ
(
γ
1
,
γ
2
)
=
1
4
π
∮
γ
1
∮
γ
2
r
1
−
r
2
|
r
1
−
r
2
|
3
⋅
(
d
r
1
×
d
r
2
)
.
{\displaystyle {}\,=\,\phi (\gamma _{1},\gamma _{2})={\frac {1}{4\pi }}\oint _{\gamma _{1}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\cdot (d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2}).}
這個積分求出了高斯映射像的全部帶符號面積（被積函數是 Γ 的雅可比矩陣 ），然後除以球面的面積（等於 4π）。
就像三維中環繞 的閉曲線，任何兩個維數為 m 與 n 的閉流形 ，可能在
m
+
n
+
1
{\displaystyle m+n+1}
歐幾里得空間 中環繞起來。任何這樣鏈環有一個相伴的高斯映射，其度數 是環繞數的推廣。
任何標架紐結 自環繞數 ，得自計算紐結 C 與將曲線 C 中的點沿着標架向量稍微移動得到一條新曲線的環繞數。由鉛直移動（沿着黑板標架）得到的自環繞數稱為考夫曼自環繞數 （Kauffman's self-linking number ）。 量子場論
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U(1) 陳-西蒙斯理論 是：
C
S
=
k
4
π
∫
M
A
d
A
{\displaystyle CS={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}AdA}
若
M
=
R
3
{\displaystyle M=R^{3}}
路徑積分 是
Z
(
C
1
,
C
2
)
=
∫
d
A
exp
(
i
C
S
+
i
∫
C
1
A
+
i
∫
C
2
A
)
=
∫
d
A
exp
(
i
C
S
+
i
∫
J
A
)
{\displaystyle Z(C_{1},C_{2})=\int dA\exp {(iCS+i\int _{C_{1}}A+i\int _{C_{2}}A)}=\int dA\exp {(iCS+i\int JA)}}
包括C1和C2的威爾森迴圈 。J=J1+J2，而且
J
i
a
=
∫
C
i
d
x
a
δ
3
(
x
−
x
i
(
t
)
)
{\displaystyle J_{i}^{a}=\int _{C_{i}}dx^{a}\delta ^{3}(x-x_{i}(t))}
因為這是高斯的積分，所以我們不需要重整化 或正規化 。再說這個積分是拓撲不變。
若J是經典方程就是
d
A
=
(
2
π
/
k
)
∗
J
{\displaystyle dA=(2\pi /k)*J}
或
∇
×
A
=
2
π
J
/
k
{\displaystyle \nabla \times A=2\pi J/k}
若我們選洛倫茨規範
d
∗
A
=
0
{\displaystyle d*A=0}
∇
2
A
=
−
2
π
∇
×
J
/
k
{\displaystyle \nabla ^{2}A=-2\pi \nabla \times J/k}
從電磁學 ，解是
A
(
x
)
=
1
2
k
∫
d
3
y
∇
×
J
(
y
)
|
x
−
y
|
{\displaystyle A(x)={\frac {1}{2k}}\int d^{3}y{\frac {\nabla \times J(y)}{|x-y|}}}
則
Z
[
C
1
,
C
2
]
=
exp
(
2
π
i
ϕ
(
C
1
,
C
2
)
/
k
)
{\displaystyle Z[C_{1},C_{2}]=\exp(2\pi i\phi (C_{1},C_{2})/k)}
這是最簡單的一個拓撲量子場論 。根據愛德華·威滕 的證明，非阿貝爾G的陳-西蒙斯論給其他拓撲不變，例如瓊斯多項式 。
^ 這與計算一個紐結 的絞擰數 時使用的標記是一致的，不過此情形我們只需標記涉及兩條曲線的交叉。
^ 如果其中一條曲線是簡單的，這由若爾當曲線定理 得到。例如，如果藍曲線是簡單的，則 n 1 + n 3 與 n 2 + n 4
表示紅曲線向內與向外穿過藍曲線所圍區域的次數。
參考文獻
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A.V. Chernavskii, Linking coefficient , Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 -, Writhing number , Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
![{\displaystyle Z[C_{1},C_{2}]=\exp(2\pi i\phi (C_{1},C_{2})/k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d5041f7d71e957a5bfa90c144f034ff613ee6b)