矩陣函數

數學上講，矩陣函數是把矩陣映射到另一個矩陣的函數。

將純量函數拓展為矩陣函數

指數級數

如果實值函數 f具有泰勒展開

$f(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+f''(0)\cdot {\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots$

那麼矩陣函數可以通過用矩陣替換自變量$x$得到：指數運算變成矩陣指數，加法變成矩陣和，與純量係數的乘法變成矩陣和純量的乘法。如果實級數在$|x|<r$時收斂，那麼其對應的關於$A$的矩陣級數也將收斂，如果在某個滿足$\|AB\|\leq \|A\|\cdot \|B\|$的矩陣範數$\|\cdot \|$上滿足$\|A\|<r$。

可對角化矩陣

如果矩陣$A$是可對角化矩陣，則結果可以簡化為一個由各個特徵值的函數值構成的矩陣。換句話說，假設我們可以找到矩陣$P$和對角陣$D$，使得$A=P\cdot D\cdot P^{-1}$，那麼 把指數級數的定義用到這個分解上，我們可以得到

$f(A)=P{\begin{bmatrix}f(d_{1})&\dots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\dots &f(d_{n})\end{bmatrix}}P^{-1}~,$

其中$d_{1},\dots ,d_{n}$表示$D$的對角元素。

相關條目

• 西爾維斯特公式
• 矩陣微積分
• 跡不等式
• 矩陣三角函數

參考資料

• Higham, Nicholas J. Functions of matrices theory and computation. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. 2008. ISBN 9780898717778.