離散時間與連續時間

两个与模型采样有关的框架

數學動力學中,離散時間連續時間是對隨時間變化的變量進行建模的兩種可選框架。

離散時間

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離散採樣信號

離散時間將變量值看做是出現在不同的、獨立的「時間點」上,或等同於在每個非零時間段內保持不變,即將時間看做離散變量。因此,從一個時間段移動到下一個時間段時,非時間變量從一個值跳到另一個值。這種框架下,每個相關變量在每個時間段取1次值,兩時間段之間的測量次數有限,通常在時間變量的連續整數值上進行。

離散信號離散時間信號是由一系列數量組成的時間序列。不同於連續時間信號,其不是連續參數的函數,不過也可能是從連續時間信號中採樣所得,間隔均勻的時長採樣的話會有相關聯的採樣率

離散時間信號有多種來源,可以分為兩類:[1]

  • 從常值或變值的模擬信號取值。此過程稱作採樣[2]
  • 觀測離散時間過程,如某經濟指標的周峰值。

連續時間

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相對地,連續時間將變量看作只有在無窮短時間段內才有特定值。任意兩時點間,又有無窮多時點。時間變量在整條實數線上取值,或在取決於具體應用的子集上取值,如非負實數。這時,時間被視作連續變量

連續信號連續時間信號是一種變化的量 (物理)信號),其定義域(通常是時間)是連續統(如實數連通區間)。即,函數的定義域是不可數集,而函數本身不必連續。相對地,離散時間信號具有可數定義域,如自然數

連續振幅、連續時間的信號常常稱作模擬信號,在每一瞬間都有一定值。與溫度、壓力、聲音等物理量成比例的電信號一般是連續信號。連續信號的其他例子有正弦波、餘弦波、三角波等等。

信號的定義域可能是有限的也可能不是,定義域到信號值有一個泛函映射。時間變量的連續性與實數密度定律有關,意味着可在任意時間點找到信號值。無限信號的一個典型例子是

 

其對應的有限時長對應信號可以是

 ,否則 

有限/無限時長信號值可能有限也可能無限,例如

 ,否則 

這是有限時長信號,但在 時的值是無限的。

很多學科中,約定俗成的做法是連續信號必須始終有限,這對物理信號來說更有意義。 某些情況下,只要信號在任意有限區間內可積,那麼無窮奇點也可以接受(如 信號在無窮大時不可積,但 可積)。

任何模擬信號本質上都是連續的。用於數碼訊號處理離散時間信號可從連續信號採樣量化得到。

連續信號也可用時間以外的自變量來定義,常見的如空間,在2維的圖像處理中尤其有用。

相關背景

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離散時間常用於實證度量情景,因為通常只能按順序測量變量。例如,雖然經濟活動實際上是持續進行的,不存在經濟活動完全停頓的時刻,但只能對經濟活動進行離散測量。因此,諸如國內生產總值之類數據只能離散地顯示一系列季度值。

試圖用其他變量和/或變量的先前值解釋時,會使用時間序列回歸分析方法,當中變量用下標表示觀測時段。例如 指在t時間段內觀察到的收入 是第三個時間段內觀察到的收入。

此外,建立理論以解釋離散時間內觀察到的現象時,為便於建立時間序列或回歸模型,通常用離散時間表示理論。

另一方面,連續時間理論模型往往在數學上更容易,而且物理學等領域中,精確的描述往往需要連續時間。當中,變量y在未指定時間點的值表為 ,含義明確則簡單表為y

方程類型

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離散時間

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離散時間使用差分方程,或稱為遞推關係。例如邏輯斯諦映射或邏輯斯諦方程

 

當中r是範圍在2到4的參數x是範圍在0到1的變量,其在t時期的值非線性地影響t+1時期的值。例如,取  ,則對於t=1有 ,對於t=2有 

另一個例子是根據產品的非零超額需求,調整價格P,模型為

 

其中 是小於等於1的正調整速度參數, 超額需求函數

連續時間

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連續時間使用微分方程。例如,針對產品非零超額需求,調整價格P,可以用連續時間建模為

 

左式是價格對時間的一階導數(即價格變化率), 是調整速度參數,可以是任意有限正數, 是超額需求函數。

圖形描述

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離散時間中測量的變量可繪製為階躍函數,當中每個時間段在橫軸上都有等長區域,測量變量在單個區域內保持不變,函數圖像將是一系列水平階梯。另一種方法是將時間段視作獨立的時間點,通常是水平軸上的整數值,然後將測量變量繪為時間軸點上方的高度,函數圖像將是一組點。 連續時間中測量的變量可繪製為連續函數,因為時間域一般認為是整個實數軸或至少是其上某些連通部分。

相關條目

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參考文獻

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  1. ^ "Digital Signal Processing", Prentice Hall - pages 11–12
  2. ^ "Digital Signal Processing: Instant access", Butterworth-Heinemann - page 8
  • Wagner, Thomas Charles Gordon. Analytical transients. Wiley. 1959.