笠–高柳猜想

笠–高柳猜想是全像原理中的一個猜想，它提出了共形場論的糾纏熵與相關反德西特空間時空的幾何形狀之間的定量關係。這個公式描述了塊體中的「全息屏幕」；也就是說，它指定了塊體幾何中的哪些區域「負責對偶 CFT 中的特定信息」。該猜想以笠真生和高柳匡命名，他們於2006年共同發表了這一成果。結果，這兩位作者因「在量子場論和量子引力中關於熵的基本思想」而榮獲2015年基礎物理學突破獎，並因「在量子引力和量子場論中對量子熵的深刻見解」而榮獲2024年國際理論物理中心的狄拉克獎。該公式於2007年被推廣為廣義協變性形式。

動機

黑洞熱力學表明黑洞的熵與其幾何形狀之間存在一定的關係。具體來說，貝肯斯坦-霍金面積公式推測黑洞的熵與其表面積成正比：

$S_{\text{BH}}={\frac {k_{\text{B}}A}{4\ell _{\text{P}}^{2}}}$

貝肯斯坦-霍金熵$S_{\text{BH}}$是衡量由於地平線的存在而給外部觀察者造成的信息丟失的指標。黑洞的視界充當着一個「屏幕」，區分時空的一個區域（在本例中是黑洞的外部），該區域不受另一個區域（在本例中是內部）的影響。貝肯斯坦-霍金面積定律指出，該表面的面積與其後面丟失的信息的熵成正比。

貝肯斯坦-霍金熵是關於系統引力熵的一種表述；然而，在量子信息論中還有另一種重要的熵，即糾纏熵。這種形式的熵可以衡量一個給定的量子態與純態的距離，或者說，它的糾纏程度。糾纏熵在許多領域都是一個有用的概念，例如凝聚態物理學和量子多體系統。鑑於它的用途，以及它與貝肯斯坦-霍金熵的相似性，希望用重力來全息描述糾纏熵。

全像原理

主條目：全像原理

全息原理指出，給定維度中的引力理論與較低維度中的規範場論是對偶的。 AdS/CFT對偶就是這種對偶性的一個例子。這裏，場論是定義在固定的背景下的，等同於量子引力理論，其不同狀態分別對應一種可能的時空幾何。共形場論通常被視為存在於它所定義的高維空間的引力理論的邊界上。這種二元性的結果是兩個等效描述之間的詞典。例如，在定義的CFT中$d$維閔考斯基時空真空態對應於純AdS空間，而熱態對應於平面黑洞。 對於本討論來說，重要的是，CFT的熱狀態定義在$d$維球面對應於$d+1$ AdS空間中的維史瓦西黑洞。

貝肯斯坦-霍金面積定律雖然聲稱黑洞視界的面積與黑洞的熵成正比，但未能對這種熵如何產生提供足夠的微觀描述。全息原理通過將黑洞系統與確實允許這種微觀描述的量子系統聯繫起來，提供了這種描述。在這種情況下，CFT具有離散特徵態，熱態是這些狀態的正則集合。 該集合的熵可以通過正常方法計算，並得到與面積定律預測相同的結果。這原來是笠–高柳猜想的一個特例。

猜想

考慮空間切片$\Sigma$ AdS時空，我們在其邊界上定義對偶CFT。笠–高柳公式指出：

$S_{A}={\frac {{\text{Area of }}\gamma _{A}}{4G}}$

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$S_{A}$是CFT在某個空間子區域的糾纏熵$A\subset \partial \Sigma$及其補$B$，和$\gamma _{A}$是本體中的笠–高柳表面。該表面必須滿足三個特性：

1. $\gamma _{A}$與有相同的邊界$A$。
2. $\gamma _{A}$與 A同調。
3. $\gamma _{A}$使該地區變得極端。如果有多個極值曲面， $\gamma _{A}$是面積最小的一個。

由於性質 (3)，當上下文清楚時，該曲面通常被稱為「極小曲面」。此外，性質 (1) 確保公式保留了糾纏熵的某些特徵，例如$S_{A}=S_{B}$和$S_{A_{1}+A_{2}}\geq S_{A_{1}\cup A_{2}}$ 。該猜想對邊界CFT的糾纏熵提供了明確的幾何解釋，即體積中表面的面積。

例子

在笠真生和高柳匡的原始論文中，明確地舉了一個例子來說明這一結果${\text{AdS}}_{3}/{\text{CFT}}_{2}$其中糾纏熵的表達式是已知的。 對於${\text{AdS}}_{3}$半徑空間$R$，對偶CFT的中心荷為

$c={\frac {3R}{2G}}$

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此外，${\text{AdS}}_{3}$有度量

$ds^{2}=R^{2}(-\cosh {\rho ^{2}dt^{2}}+d\rho ^{2}+\sinh {\rho ^{2}d\theta ^{2}})$

在$(t,\rho ,\theta )$（本質上是一堆龐加萊圓盤模型）。由於該指標在$\rho \to \infty$ ， $\rho$僅限於$\rho \leq \rho _{0}$ 。這一規定最高$\rho$類似於具有 UV 截止的相應 CFT。如果$L$是CFT系統的長度，在本例中是使用適當度量計算的圓柱體的周長，並且$a$是晶格間距，我們有

$e^{\rho _{0}}\sim L/a$ 。

在這種情況下，邊界 CFT 位於坐標$(t,\rho _{0},\theta )=(t,\theta )$。考慮一個固定的$t$切片並取邊界的子區域A為$\theta \in [0,2\pi l/L]$在哪裏$l$是長度$A$。在這種情況下，最小曲面很容易識別，因為它只是通過連接主體的測地線$\theta =0$和$\theta =2\pi l/L$。記住格子截斷，測地線的長度可以計算為

$\cosh {(L_{\gamma _{A}}/R)}=1+2\sinh ^{2}\rho _{0}\sin ^{2}{\frac {\pi l}{L}}$

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如果假設$e^{\rho _{0}}>>1$，然後利用笠–高柳公式計算糾纏熵。代入式 ( 3 ) 中計算出的最小表面長度，並回憶中心電荷 ( 2 )，糾纏熵由下式給出：

$S_{A}={\frac {R}{4G}}\log {(e^{2\rho _{0}}\sin ^{2}{\frac {\pi l}{L}})}={\frac {c}{3}}\log {(e^{\rho _{0}}\sin {\pi l/L})}$

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這與通常方法計算的結果一致。