等價類

在數學中，假設在一個集合 $X$ 上定義一個等價關係（用 $\sim$ 來表示），則 $X$ 中的某個元素 $a$ 的等價類就是在 $X$ 中等價於 $a$ 的所有元素所形成的子集:

[a]=\{x\in X|x\sim a\}

。

等價類的概念有助於從已經構造了的集合構造新集合。在 $X$ 中的給定等價關係 $\sim$ 的所有等價類的集合表示為 $X/\mathrm {\sim }$ 並叫做 $X$ 除以 $\sim$ 的商集。這種運算可以（實際上非常不正式的）被認為是輸入集合除以等價關係的活動，所以名字「商」和這種記法都是模仿的除法。商集類似於除法的一個方面是，如果 $X$ 是有限的並且等價類都是等勢的，則 $X/\mathrm {\sim }$ 的序是 $X$ 的序除以一個等價類的序的商。商集被認為是帶有所有等價點都識別出來的集合 $X$ 。

對於任何等價關係，都有從 $X$ 到 $X/\mathrm {\sim }$ 的一個規範投影映射 $\pi$ ，給出為 $\pi (x)=[x]$ 。這個映射總是滿射的。在 $X$ 有某種額外結構的情況下，考慮保持這個結構的等價關係，接着稱這個結構是良好定義的，而商集在自然方式下繼承了這個結構而成為同一個範疇的物件；從 $a$ 到 $[a]$ 的映射則是在這個範疇內的滿態射。參見同餘關係。

例子

如果 $X$ 是轎車的集合，而 $\sim$ 是「顏色相同」的等價類，則一個特定等價類由所有綠色轎車組成。 $X/\mathrm {\sim }$ 自然的被認同於所有轎車顏色的集合。
考慮在整數集合 $\mathbb {Z}$ 上的「模 $2$ 」 ﹝見同餘﹞等價關係: $x\sim y$ 當且僅當 $x-y$ 是偶數。這個關係精確的引發兩個等價類: $[0]$ 由所有偶數組成， $[1]$ 由所有奇數組成。在這個關係下 $[7],[9]$ 和 $[1]$ 都表示 $\mathbb {Z} /\mathrm {\sim }$ 的同一個元素。
有理數可以構造為整數的有序對 $(a,b)$ 的等價類的集合， $b$ 不能為零，這裏的等價關係定義為

(a,b)\sim (c,d)

當且僅當

ad=bc

。

這裏的有序對

(a,b)

的等價類可以被認同於有理數

a/b

。

任何函數 $f:X\rightarrow Y$ 定義在X上的等價關係，通過 $x_{1}\sim x_{2}$ 當且僅當 $f(x_{1})=f(x_{2})$ 。 $x$ 的等價類是在 $X$ 中被映射到 $f(x)$ 的所有元素的集合，就是說，類 $[x]$ 是 $f(x)$ 的逆像。這個等價關係叫做 $f$ 的核。
給定群 $G$ 和子群 $H$ ，我們可以定義在 $G$ 上的等價關係，通過 $x\sim y$ 當且僅當 $xy^{-1}\in H$ 。這個等價類叫做H在G中的右陪集；其中之一是 $H$ 自身。它們都有同樣數目的元素（在無限 $H$ 的情況下是勢）。如果 $H$ 是正規子群，則所有陪集的集合自身是在自然方式下的一個群。
所有群都可以劃分成叫做共軛類的等價類。
連續映射 $f$ 的同倫類是所有同倫於 $f$ 的所有映射的等價類。
在自然語言處理中，等價類是對一個個人、位置、事物或事件的所有提及的要麼真實要麼虛構的集合。例如，在句子「"GE股東將投票公司傑出的CEO Jack Welch的繼任者」。「GE」和「公司」是同義的，所以構成一個等價類。對「GE股東」和「Jack Welch」有單獨的等價類。

性質

因為等價關係的 $a$ 在 $[a]$ 中和任何兩個等價類要麼相等要麼不相交的性質。得出X的所有等價類的集合形成 $X$ 的劃分：所有 $X$ 的元素屬於一且唯一的等價類。反過來， $X$ 的所有劃分也定義了在 $X$ 上等價關係。

它還得出等價關係的性質

a\sim b

當且僅當

[a]=[b]

。

如果 $\sim$ 是在 $X$ 上的等價關係，而 $P(x)$ 是 $x$ 的元素的一個性質，使得只要 $x\sim y,P(x)$ 為真如果 $P(y)$ 為真，則性質 $P$ 被稱為良好定義的或在關係 $\sim$ 下「類恆定」的。常見特殊情況出現在 $f$ 是從 $X$ 到另一個集合 $Y$ 的時候；如果 $x_{1}\sim x_{2}$ 蘊涵 $f(x_{1})=f(x_{2})$ 則 $f$ 被稱為在 $\sim$ 下恆定的類，或簡單稱為在 $\sim$ 下恆定。這出現在有限群的特徵理論中。對函數 $f$ 的後者情況可以被表達為交換三角關係．參見不變量。

參見

等價關係