等價類

提示：此條目的主題不是等價關係。

在數學中，假設在一個集合$X$上定義一個等價關係（用$\sim$來表示），則$X$中的某個元素$a$的等價類就是在$X$中等價於$a$的所有元素所形成的子集:

$[a]=\{x\in X|x\sim a\}$。

等價類的概念有助於從已經構造了的集合構造新集合。在$X$中的給定等價關係$\sim$的所有等價類的集合表示為$X/\mathrm {\sim }$並叫做$X$除以$\sim$的商集。這種運算可以（實際上非常不正式的）被認為是輸入集合除以等價關係的活動，所以名字「商」和這種記法都是模仿的除法。商集類似於除法的一個方面是，如果$X$是有限的並且等價類都是等勢的，則$X/\mathrm {\sim }$的序是$X$的序除以一個等價類的序的商。商集被認為是帶有所有等價點都識別出來的集合$X$。

對於任何等價關係，都有從$X$到$X/\mathrm {\sim }$的一個規範投影映射$\pi$，給出為$\pi (x)=[x]$。這個映射總是滿射的。在$X$有某種額外結構的情況下，考慮保持這個結構的等價關係，接着稱這個結構是良好定義的，而商集在自然方式下繼承了這個結構而成為同一個範疇的物件；從$a$到$[a]$的映射則是在這個範疇內的滿態射。參見同餘關係。

例子

• 如果$X$是轎車的集合，而$\sim$ 是「顏色相同」的等價類，則一個特定等價類由所有綠色轎車組成。$X/\mathrm {\sim }$ 自然的被認同於所有轎車顏色的集合。
• 考慮在整數集合$\mathbb {Z}$上的「模$2$」 ﹝見同餘﹞等價關係: $x\sim y$當且僅當$x-y$是偶數。這個關係精確的引發兩個等價類: $[0]$由所有偶數組成，$[1]$由所有奇數組成。在這個關係下$[7],[9]$和$[1]$都表示$\mathbb {Z} /\mathrm {\sim }$的同一個元素。
• 有理數可以構造為整數的有序對 $(a,b)$的等價類的集合，$b$不能為零，這裏的等價關係定義為

$(a,b)\sim (c,d)$當且僅當$ad=bc$。

這裏的有序對 $(a,b)$的等價類可以被認同於有理數$a/b$。

• 任何函數$f:X\rightarrow Y$定義在X上的等價關係，通過$x_{1}\sim x_{2}$ 當且僅當$f(x_{1})=f(x_{2})$。$x$的等價類是在$X$中被映射到$f(x)$的所有元素的集合，就是說，類$[x]$是$f(x)$的逆像。這個等價關係叫做$f$的核。
• 給定群$G$和子群$H$，我們可以定義在$G$上的等價關係，通過$x\sim y$當且僅當$xy^{-1}\in H$。這個等價類叫做H在G中的右陪集；其中之一是$H$自身。它們都有同樣數目的元素（在無限$H$的情況下是勢）。如果$H$是正規子群，則所有陪集的集合自身是在自然方式下的一個群。
• 所有群都可以劃分成叫做共軛類的等價類。
• 連續映射$f$的同倫類是所有同倫於$f$的所有映射的等價類。
• 在自然語言處理中，等價類是對一個個人、位置、事物或事件的所有提及的要麼真實要麼虛構的集合。例如，在句子「"GE股東將投票公司傑出的CEO Jack Welch的繼任者」。「GE」和「公司」是同義的，所以構成一個等價類。對「GE股東」和「Jack Welch」有單獨的等價類。

性質

因為等價關係的$a$在$[a]$中和任何兩個等價類要麼相等要麼不相交的性質。得出X的所有等價類的集合形成$X$的劃分：所有$X$的元素屬於一且唯一的等價類。反過來，$X$的所有劃分也定義了在$X$上等價關係。

它還得出等價關係的性質

$a\sim b$當且僅當$[a]=[b]$。

如果$\sim$是在$X$上的等價關係，而$P(x)$是$x$的元素的一個性質，使得只要$x\sim y,P(x)$為真如果$P(y)$為真，則性質$P$被稱為良好定義的或在關係$\sim$下「類恆定」的。常見特殊情況出現在$f$是從$X$到另一個集合$Y$的時候；如果$x_{1}\sim x_{2}$蘊涵$f(x_{1})=f(x_{2})$則$f$被稱為在$\sim$下恆定的類，或簡單稱為在$\sim$下恆定。這出現在有限群的特徵理論中。對函數$f$的後者情況可以被表達為交換三角關係．參見不變量。

參見

• 等價關係