線性代數中,舒爾分解舒爾上三角化是一種矩陣分解方法,得名於德國數學家伊沙海·舒爾英語Issai Schur

定理的陳述

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舒爾分解定理表明,如果An階的複方陣,則存在n么正矩陣Q,n階上三角矩陣U,使得:[1][2][3]

 

即任何一個n階複方陣A酉相似於一個n階上三角矩陣U。因為A,U相似,所以兩者有相同的特徵值,且相同特徵值的代數重數也相同。又因U是上三角矩陣,所以U的對角元素實際上是A的所有特徵值。

該定理表明,存在Cn的一個線性子空間序列{0} = V0V1 ⊂ ... ⊂ Vn = Cn,使得其中的每一個都是A(看成線性變換)的不變子空間。且存在Cn(指定標準內積)的一組單位酉正交基,使得前i個基向量張成上述序列中第i個子空間。[1]

定理的證明

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以線性變換思想

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把矩陣A看成是有限維酉空間Cn上的線性變換,它有特徵值λ,所對應的特徵子空間Vλ,令Vλ 為它的正交補空間。分別取兩個空間的一組單位正交基(Z1,Z2),它們構成原空間的一組單位正交基,則線性變換A在這組基下的矩陣表出為:


 

而A22又可以看成是Vλ上的線性變換,又可以重複上述過程。(本質上,A22是A在商空間Cn\Vλ上引入的線性變換。)所以最終可以找到Cn的一組基,使得A在這組基下的矩陣為上三角矩陣。[1][2]

以矩陣思想

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上述證明過程也可以用矩陣的語言複述。對n階矩陣採用數學歸納法:

  1. k=1,顯然命題成立。
  2. 若任何一個n-1階矩陣酉正交相似於一個上三角矩陣。則對一個n階矩陣,它有特徵值λ1,對應特徵向量β。將β擴充為Cn的一組單位正交基,並排列成矩陣V1,則有:
 
根據歸納假設,存在n-1階酉矩陣V2和上三角矩陣T,使得:
 
所以有:
 
即:
 
 ,顯然它是酉矩陣。由歸納假設,原命題成立。[4][3]

計算

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給定矩陣的舒爾分解可以用QR計算法求出。換言之,為求解矩陣的舒爾分解,並沒有必要求解其特徵多項式的根。另一方面,通過求解一個多項式的伴隨矩陣的舒爾分解,可以計算出它的所有根。類似地,通過舒爾分解,也可以計算給定矩陣的特徵值。[5]

廣義舒爾分解

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給定矩陣A和B,則存在酉矩陣Q、Z,上三角矩陣S、T,使得  同時成立。這被稱為廣義舒爾分解,有時也被稱為QZ分解。[2]

廣義特徵值問題 的解是S、T對應的對角元的比值,即 [2]

參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Horn, R.A. and Johnson, C.R. Matrix Analysis. Cambridge University Press. 1985. ISBN 0-521-38632-2. (Section 2.3 and further at p. 79)
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 Golub, G.H. and Van Loan, C.F. Matrix Computations 3rd. Johns Hopkins University Press. 1996. ISBN 0-8018-5414-8. (Section 7.7 at p. 313)
  3. ^ 3.0 3.1 《矩陣論》:第四章.第五節.Schur定理與正規矩陣
  4. ^ 丘維聲. 《高等代数学习指导·上册》. 清華大學出版社. 2005: p352. ISBN 978-7-302-10975-4. 
  5. ^ Anderson, E.; Bai, Z.; Bischof, C.; Blackford, S.; Demmel, J.; Dongarra, J.; Du Croz, J.; Greenbaum, A.; Hammarling, S.; McKenney, A.; Sorensen, D. LAPACK Users' Guide Third. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics. 1999. ISBN 0-89871-447-8.