量子位元

在量子資訊科學中，量子位元（英語：quantum bit），又稱Q位元（qubit）是量子資訊的計量單位。傳統電腦使用的是0和1，量子電腦雖然也是使用0跟1，但不同的是，量子電腦的0與1可以同時計算。在古典系統中，一個位元在同一時間，只有0或1，只存在一種狀態，但量子位元可以同時是1和0，兩種狀態同時存在，這種效果叫量子疊加。這是量子電腦計算目前獨有的特性。

4個量子位元的IBM實驗晶片，但最後並無實用價值。

定義

具有量子特性的系統（通常為雙態系統，如自旋1/2粒子），選定兩個相互正交的本徵態，分別以$|0\rangle$（採狄拉克標記右括向量表示）和$|1\rangle$代表。當對此系統做投影式量子測量時，會得到的結果必為這兩個本徵態之一，以特定概率比例出現。此外，這兩個本徵態可以複數系數做線性疊加得到諸多新的量子態

$|\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle ;\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {C}$，

而從量子力學得知，這些線性疊加態$|\psi \rangle \,$的兩個複數系數，必須要求各自絕對值平方相加之和為1，也就是：

$|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\,$

因為

$1=\langle \psi |\psi \rangle =(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )^{\dagger }(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )=(\alpha ^{*}\langle 0|+\beta ^{*}\langle 1|)(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )$

$=\alpha ^{*}\alpha \langle 0|0\rangle +\beta ^{*}\beta \langle 1|1\rangle$

$=|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}\,$，即要求總概率要是1。

兩個本徵態$|0\rangle$、$|1\rangle$及無限多種線性疊加態$|\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle$，集合起來就代表了一個量子位元；各態皆屬純態。

和（古典）位元「非0即1」有所不同，量子位元可以「又0又1」的狀態存在，所謂「又0又1」即上述無限多種$(\alpha ,\beta )\,$組合的線性疊加態。這特性導致了量子平行處理等現象，並使量子計算應用在某些課題上顯着地優於古典計算，甚至可進行古典計算無法做到的工作。

量子位元通常會採用一種幾何表示法將之圖像化，此表示法稱之為布洛赫球面。

按方向所採的諸多表示法

若設置$|0\rangle$、$|1\rangle$順沿直角坐標系的z方向，則有諸多表示法。可採上述向量形式如狄拉克標記的右括向量，亦可將之表為行矩陣；另外有密度矩陣形式，可表為右括向量乘以左括向量，或表為方塊矩陣，可見如下：

z方向

向量：$z_{+}=|0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\quad z_{-}=|1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

密度矩陣：$z_{+}=|0\rangle \langle 0|={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},$
$z_{-}=|1\rangle \langle 1|={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$

x方向

向量：$x_{+}=|x_{+}\rangle ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}},\quad x_{-}=|x_{-}\rangle ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}$

密度矩陣：$x_{+}=|x_{+}\rangle \langle x_{+}|={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},$
$x_{-}=|x_{-}\rangle \langle x_{-}|={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$

y方向

向量：$y_{+}=|y_{+}\rangle ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}},\quad y_{-}=|y_{-}\rangle ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}$

密度矩陣：$y_{+}=|y_{+}\rangle \langle y_{+}|={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {i}{2}}\\{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},$
$y_{-}=|y_{-}\rangle \langle y_{-}|={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {i}{2}}\\-{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$

量子三位元

參見：量子三位元

量子三位元（qutrit）是量子位元的推廣，有些應用採取之。量子三元以狄拉克標記右括向量表示可寫為$|0\rangle$、$|1\rangle$、$|2\rangle$。一個自旋為1的粒子，其自旋自由度有三，所對應的本徵值為+1, 0, -1，此粒子即可用作量子三元。

參閲

• 量子資訊科學
• 貝爾態
• 布洛赫球面
• 雙態系統

參考文獻

• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang: Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, Cambridge 2000, ISBN 0-521-63503-9.
• Oliver Morsch: Quantum bits and quantum secrets - how quantum physics is revolutionizing codes and computers. Wiley-VCH, Weinheim 2008, ISBN 978-3-527-40710-1.
• Anthony J. Leggett: Quantum computing and quantum bits in mesoscopic systems. Kluwer Academic, New York 2004, ISBN 0-306-47904-4.

外部連接

• Qubit.org （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）—cofounded by one of the pioneers in quantum computation, David Deutsch