阿達馬變換 （Hadamard transform ），或稱沃爾什-阿達瑪轉換 ，是一種廣義傅立葉變換 （Fourier transforms），作為變換編碼 的一種在影片編碼當中使用有很久的歷史。在近來的影片編碼標準中，阿達馬變換多被用來計算SATD(一種影片殘差 信號大小的衡量)。
在數字信號處理 大型積體電路演算法的領域中，阿達馬變換是一種簡單且重要的演算法 之一，主要能針對頻譜 做快速的分析。
在H.264 中使用了4階和8階的阿達馬變換來計算SATD ，其變換矩陣為：
H
4
=
[
1
1
1
1
1
−
1
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
−
1
−
1
1
]
{\displaystyle H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}}
H
8
=
[
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
1
1
−
1
1
−
1
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
1
1
1
1
−
1
−
1
−
1
−
1
1
−
1
1
−
1
−
1
1
−
1
1
1
1
−
1
−
1
−
1
−
1
1
1
1
−
1
−
1
1
−
1
1
1
−
1
]
{\displaystyle H_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\end{bmatrix}}}
當計算4x4塊
[
L
4
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}L_{4}\end{bmatrix}}}
[
L
4
′
]
=
[
H
4
]
×
[
L
4
]
×
[
H
4
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}L_{4}'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}H_{4}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}L_{4}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}H_{4}\end{bmatrix}}}
然後計算
[
L
4
′
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}L_{4}'\end{bmatrix}}}
絕對值 之和並歸一化 。
[
L
8
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}L_{8}\end{bmatrix}}}
[
L
8
′
]
=
[
H
8
]
×
[
L
8
]
×
[
H
8
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}L_{8}'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}H_{8}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}L_{8}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}H_{8}\end{bmatrix}}}
然後計算
[
L
8
′
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}L_{8}'\end{bmatrix}}}
絕對值 之和並歸一化 。
阿達馬變換轉換主要型式為
2
k
{\displaystyle {\boldsymbol {2^{k}}}}
矩陣 ，其最小單位矩陣 為 2x2 的阿達馬變換矩陣，以下分別為二點、四點與如何產生
2
k
{\displaystyle {\boldsymbol {2^{k}}}}
W
2
=
[
1
1
1
−
1
]
{\displaystyle {\boldsymbol {W_{2}}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}}
W
4
=
[
1
1
1
1
1
1
−
1
−
1
1
−
1
−
1
1
1
−
1
1
−
1
]
{\displaystyle {\boldsymbol {W_{4}}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1\end{bmatrix}}}
產生
2
k
{\displaystyle {\boldsymbol {2^{k}}}}
步驟一：
V
2
k
+
1
=
[
W
2
k
W
2
k
W
2
k
−
W
2
k
]
{\displaystyle {\boldsymbol {V_{2^{k+1}}}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {W_{2^{k}}}}&{\boldsymbol {W_{2^{k}}}}\\{\boldsymbol {W_{2^{k}}}}&{\boldsymbol {-W_{2^{k}}}}\end{bmatrix}}}
矩陣 (Matrix) 內的列向量做順序上的重新排列。
V
2
k
+
1
⟶
W
2
k
+
1
{\displaystyle {\boldsymbol {V_{2^{k+1}}}}\longrightarrow {\boldsymbol {W_{2^{k+1}}}}}
V
4
=
[
W
2
W
2
W
2
−
W
2
]
=
[
1
1
1
1
1
−
1
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
−
1
−
1
1
]
,
W
4
=
[
1
1
1
1
1
1
−
1
−
1
1
−
1
−
1
1
1
−
1
1
−
1
]
.
{\displaystyle {\boldsymbol {V_{4}}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {W_{2}}}&{\boldsymbol {W_{2}}}\\{\boldsymbol {W_{2}}}&{\boldsymbol {-W_{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {W_{4}}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1\end{bmatrix}}.}
V
8
=
[
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
1
−
1
1
−
1
1
−
1
1
−
1
1
1
1
1
−
1
−
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
−
1
−
1
1
1
1
−
1
−
1
1
−
1
1
1
−
1
1
−
1
1
−
1
−
1
1
−
1
1
]
,
W
8
=
[
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
1
−
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
−
1
−
1
1
1
1
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
−
1
1
1
−
1
1
−
1
1
−
1
−
1
1
−
1
1
1
−
1
1
−
1
1
−
1
1
−
1
]
.
{\displaystyle {\boldsymbol {V_{8}}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {W_{8}}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\end{bmatrix}}.}
∑
n
=
0
N
−
1
W
[
h
,
n
]
W
[
m
,
n
]
=
0
,
i
f
h
≠
m
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}W\left[{h,n}\right]W\left[{m,n}\right]=0,\quad \mathrm {if} \,h\neq m.}
其表示 Walsh-Hadamard 轉換矩陣 中，不同的列向量 (Row verctor) 做內積 (Inner product) 為零。
可簡單從 Walsh-Hadamard 轉換矩陣 中發現，其奇數列向量 呈現左右兩邊偶對稱 (Even symmetric)。反之，其偶數列向量 呈現左右兩邊奇對稱 (Odd symmetric)。
若
f
[
n
]
⇒
F
[
m
]
a
n
d
g
[
n
]
⇒
G
[
m
]
,
{\displaystyle f\left[{n}\right]\Rightarrow F\left[{m}\right]\,and\,\,g\left[{n}\right]\Rightarrow G\left[{m}\right],}
則
a
f
[
n
]
+
b
g
[
n
]
⇒
a
F
[
m
]
+
b
G
[
m
]
.
{\displaystyle a\,f\left[{n}\right]+b\,g\left[{n}\right]\Rightarrow a\,F\left[{m}\right]+b\,G\left[{m}\right].}
W
[
m
,
n
]
⋅
W
[
l
,
n
]
=
W
[
m
⊕
l
,
n
]
.
{\displaystyle W\left[{m,n}\right]\cdot W\left[{l,n}\right]=W\left[{m\oplus l,n}\right].}
範例：
0
⊕
0
=
0
,
0
⊕
1
=
1
,
1
⊕
0
=
1
,
1
⊕
1
=
0
,
{\displaystyle 0\oplus 0=0,\quad 0\oplus 1=1,\quad 1\oplus 0=1,\quad 1\oplus 1=0,}
其運算方式為布林代數 內的 XOR 邏輯閘。
δ
[
n
]
⇒
1
,
1
⇒
N
⋅
δ
[
n
]
.
{\displaystyle \delta \left[{n}\right]\Rightarrow 1,\quad 1\Rightarrow N\cdot \delta \left[{n}\right].}
其中，
δ
[
n
]
=
{
1
,
w
h
e
n
n
=
0
0
,
w
h
e
n
n
≠
0
.
{\displaystyle \delta \left[{n}\right]={\begin{cases}\,1,\quad \mathrm {when} \;n=0\\\,0,\quad \mathrm {when} \;n\neq 0\end{cases}}.}
若
f
[
n
]
⇒
F
[
m
]
,
{\displaystyle f\left[{n}\right]\Rightarrow F\left[{m}\right],}
則
f
[
n
⊕
k
]
⇒
W
[
k
,
m
]
F
[
m
]
.
{\displaystyle f\left[{n\oplus k}\right]\Rightarrow W\left[{k,m}\right]F\left[{m}\right].}
若
f
[
n
]
⇒
F
[
m
]
,
{\displaystyle f\left[{n}\right]\Rightarrow F\left[{m}\right],}
則
W
[
k
,
n
]
f
[
n
]
⇒
F
[
m
⊕
k
]
.
{\displaystyle W\left[{k,n}\right]f\left[{n}\right]\Rightarrow F\left[{m\oplus k}\right].}
若
f
[
n
]
⇒
F
[
m
]
,
∑
n
=
0
N
−
1
|
f
[
n
]
|
2
=
(
1
N
)
∑
n
=
0
N
−
1
|
F
[
m
]
|
2
.
{\displaystyle f\left[{n}\right]\Rightarrow F\left[{m}\right],\quad \sum _{n=0}^{N-1}\left|f\left[n\right]\right|^{2}=\left({\frac {1}{N}}\right)\sum _{n=0}^{N-1}\left|F\left[m\right]\right|^{2}.}
若
f
[
n
]
⇒
F
[
m
]
a
n
d
g
[
n
]
⇒
G
[
m
]
,
{\displaystyle f\left[{n}\right]\Rightarrow F\left[{m}\right]\,and\,\,g\left[{n}\right]\Rightarrow G\left[{m}\right],}
則
∑
n
=
0
N
−
1
f
[
n
]
g
[
n
]
=
(
1
N
)
∑
n
=
0
N
−
1
F
[
m
]
G
[
m
]
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}f\left[n\right]g\left[n\right]=\left({\frac {1}{N}}\right)\sum _{n=0}^{N-1}F\left[m\right]G\left[m\right].}
摺積 性質若
f
[
n
]
⇒
F
[
m
]
a
n
d
g
[
n
]
⇒
G
[
m
]
,
{\displaystyle f\left[{n}\right]\Rightarrow F\left[{m}\right]\,and\,\,g\left[{n}\right]\Rightarrow G\left[{m}\right],}
則
h
[
n
]
=
f
[
n
]
⋆
g
[
n
]
⇒
H
[
m
]
=
F
[
m
]
G
[
m
]
,
{\displaystyle h\left[{n}\right]=f\left[{n}\right]\star g\left[{n}\right]\Rightarrow H\left[{m}\right]=F\left[{m}\right]G\left[{m}\right],}
其中
⋆
{\displaystyle \star }
邏輯摺積 (Logical convolution)。
僅需實數 運算 (Real operation) 。
不需乘法 運算 (No multiplication) ，僅有加減法運算。
有部分性質類似於離散傅立葉變換 (Discrete fourier transform) 。
順向轉換 (Forward transform) 與反向轉換 (Inverse transform ) 型式為相似式。
{
F
[
m
]
=
∑
n
=
0
N
−
1
W
[
m
,
n
]
f
[
n
]
(
Forward Type
)
f
[
n
]
=
(
1
N
)
∑
n
=
0
N
−
1
W
[
m
,
n
]
F
[
m
]
(
Inverse Type
)
,
{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}F\left[m\right]&=&\sum _{n=0}^{N-1}W\left[{m,n}\right]f\left[n\right]&&({\mbox{Forward Type}})\\f\left[n\right]&=&\left({\frac {1}{N}}\right)\sum _{n=0}^{N-1}W\left[{m,n}\right]F\left[m\right]&&({\mbox{Inverse Type}})\end{matrix}}\end{cases}},}
其中
F
[
n
]
{\displaystyle F\left[n\right]}
f
[
n
]
{\displaystyle f\left[n\right]}
行向量 (Column vector) 。
阿達馬變換轉換主要為一種非常適合應用於頻域分析 (Spectrum analysis) ，去執行快速之分析。可惜的是對於摺積 性質是一種邏輯摺積 ，與離散傅立葉變換 上之摺積 性質截然不同。因此，較摺積 上無法取代離散傅立葉變換 。
主要應用範圍：
帶寬降低 (Bandwidth reduction) 。CDMA (Code division multiple access)。其主要是一種調變 (modulation) 與解調 (Demodultion) 之技術。
資訊編碼 (Information coding)。特徵識別 (Feature extraction)。心電圖分析 (ECG signal analysis in medical signal processing)。Hadamard 頻譜量測 (Hadamard spectrometer)。避免量化誤差 (Avoiding quantization error)。由於阿達馬變換轉換輸入輸出皆為整數 ，因此不會有量化誤差的問題。
廣義來說，其實阿達馬變換轉換是 Jacket 轉換中的一項特例情況，其將
w
=
±
2
0
=
1
{\displaystyle w=\pm 2^{0}=1}
以下為四點的 Jacket 轉換：
J
4
=
[
1
1
1
1
1
−
w
w
−
1
1
w
−
w
1
1
−
1
−
1
1
]
,
w
h
e
r
e
w
=
±
2
k
.
{\displaystyle {\boldsymbol {J_{4}}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-w&w&-1\\1&w&-w&1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}},\quad where\ w=\pm 2^{k}.}
2
k
+
1
{\displaystyle {\boldsymbol {2^{k+1}}}}
J
2
k
+
1
=
[
J
2
k
J
2
k
J
2
k
−
J
2
k
]
.
{\displaystyle {\boldsymbol {J_{2^{k+1}}}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {J_{2^{k}}}}&{\boldsymbol {J_{2^{k}}}}\\{\boldsymbol {J_{2^{k}}}}&-{\boldsymbol {J_{2^{k}}}}\end{bmatrix}}.}
Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2008.
H. F. Harmuth,「Transmission of information by orthogonal functions,」1970.
Moon-Hu. Lee,「A new reverse Jacket transform and its fast algorithm,」IEEE Trans. Circuits Syst.-II, vol. 47, pp.39-46, 2000.
K.G.Beauchamp, "Walsh Functions and Their Applications," Academic Press,1975.
H. F. Harmuth, "Transmission of Information by Orthogonal Functions," Springer, 1969. 
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}W\left[{h,n}\right]W\left[{m,n}\right]=0,\quad \mathrm {if} \,h\neq m.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765873f866f1e7c793e9da2c08108b4fc89e27fb)
![{\displaystyle f\left[{n}\right]\Rightarrow F\left[{m}\right]\,and\,\,g\left[{n}\right]\Rightarrow G\left[{m}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c7e1ebbb06f0b753415ede62f7bb1e12ebb25c)
![{\displaystyle a\,f\left[{n}\right]+b\,g\left[{n}\right]\Rightarrow a\,F\left[{m}\right]+b\,G\left[{m}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96ce6759c59f1d0740e98193b1d1c7c2cfc43546)
![{\displaystyle W\left[{m,n}\right]\cdot W\left[{l,n}\right]=W\left[{m\oplus l,n}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d40b913af77bad0881aac76871fa0ea53d01caf6)
![{\displaystyle \delta \left[{n}\right]\Rightarrow 1,\quad 1\Rightarrow N\cdot \delta \left[{n}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7370625ad3e1810291f73b3b4810b1aa27844fa3)
![{\displaystyle \delta \left[{n}\right]={\begin{cases}\,1,\quad \mathrm {when} \;n=0\\\,0,\quad \mathrm {when} \;n\neq 0\end{cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25e41446486188474a4e483bf116aced377c73c2)
![{\displaystyle f\left[{n}\right]\Rightarrow F\left[{m}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d7076898281100e47eea809d89baf9aea8c8483)
![{\displaystyle f\left[{n\oplus k}\right]\Rightarrow W\left[{k,m}\right]F\left[{m}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8503a1648acc1759bb2a887f349bcdd156a82350)
![{\displaystyle W\left[{k,n}\right]f\left[{n}\right]\Rightarrow F\left[{m\oplus k}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c10ada4755f3571714ac195c4d40efb1f7de223)
![{\displaystyle f\left[{n}\right]\Rightarrow F\left[{m}\right],\quad \sum _{n=0}^{N-1}\left|f\left[n\right]\right|^{2}=\left({\frac {1}{N}}\right)\sum _{n=0}^{N-1}\left|F\left[m\right]\right|^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9aa70c43cd8bb1a08049cf1e271f80d5674f479)
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}f\left[n\right]g\left[n\right]=\left({\frac {1}{N}}\right)\sum _{n=0}^{N-1}F\left[m\right]G\left[m\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b2d76614c224ade392ad835742299630494eb6)
![{\displaystyle h\left[{n}\right]=f\left[{n}\right]\star g\left[{n}\right]\Rightarrow H\left[{m}\right]=F\left[{m}\right]G\left[{m}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06840dd8c8a02b22ee53a6387a04931fcd59b90c)
![{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}F\left[m\right]&=&\sum _{n=0}^{N-1}W\left[{m,n}\right]f\left[n\right]&&({\mbox{Forward Type}})\\f\left[n\right]&=&\left({\frac {1}{N}}\right)\sum _{n=0}^{N-1}W\left[{m,n}\right]F\left[m\right]&&({\mbox{Inverse Type}})\end{matrix}}\end{cases}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69709e04d9441f164c64a93b24a1e3e26970cf6d)
![{\displaystyle F\left[n\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17c534070a7e2d1a46f055cfbc58a9f808ba3d38)
![{\displaystyle f\left[n\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1c3e9c2417b00e22f866b1db79e8eb986d7dd32)
