黃金進制

黃金進制（英語：Golden ratio base）是使用黃金比φ作為底數的進位制，其中 ${\textstyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803399\ldots }$ 是一個無理數。在英語中，黃金進制也叫做base-φ、golden mean base、phi-base、phinary。在黃金進制下，任何非負整數都約定使用0和1表示，並且不連續使用兩個1，這叫做黃金進制的標準形。任何黃金進制的數凡是出現11，就一定可以根據黃金比φ的性質 φ^$n$+φ^{$n -1$}=φ^{$n +1$} 表示成標準形。例如，11_φ = 100_φ。

雖然黃金進制使用無理數作為基底，任何非負整數在黃金進制下都可以表示成有限小數。所有有理數則都可以表示成循環小數。所有數的有限表示都是唯一的，但和十進制一樣，整數和有限小數都可以寫成無限小數的形式，如十進制中的 1 = 0.99999…。

舉例

十進制數	用φ的冪表示	φ進制數
1	φ⁰	`1`
2	φ¹ + φ⁻²	`10.01`
3	φ² + φ⁻²	`100.01`
4	φ² + φ⁰ + φ⁻²	`101.01`
5	φ³ + φ⁻¹ + φ⁻⁴	`1000.1001`
6	φ³ + φ¹ + φ⁻⁴	`1010.0001`
7	φ⁴ + φ⁻⁴	`10000.0001`
8	φ⁴ + φ⁰ + φ⁻⁴	`10001.0001`
9	φ⁴ + φ¹ + φ⁻² + φ⁻⁴	`10010.0101`
10	φ⁴ + φ² + φ⁻² + φ⁻⁴	`10100.0101`

轉化到標準形

211.01_φ是φ進制數，但並非標準形，因為它含有「11」和「2」，以及1=-1。我們可以根據以下公式將它轉化到標準形：

011_φ = 100_φ
0200_φ = 1001_φ
010_φ = 101_φ

公式的代換過程對結果沒有影響。具體過程如下：

  211.01_φ
  300.01_φ     011_φ → 100_φ
 1101.01_φ     0200_φ → 1001_φ
10001.01_φ     011_φ → 100_φ (again)
10001.101_φ    010_φ → 101_φ
10000.011_φ    010_φ → 101_φ (again)
10000.1_φ      011_φ → 100_φ (again)

任意非標準形正數都可以唯一地標準化。這樣處理之後如果第一位是負數，此時需要將每一位數都變成相反數，重新標準化並加上負號。例如：

101_φ = -101_φ = -110.1_φ = -1.1_φ = -10_φ

整數的黃金進制表示

通常所說的整數在黃金進制下是有限小數。例如，整數5轉化成黃金進制的過程如下所示：

5以下φ的最高次冪是 φ³ = 1 + 2φ ≈ 4.236；
與5求差為5 - (1 + 2φ) = 4 - 2φ ≈ 0.763；
0.763以下最大的φ的冪是 φ^－1 = -1 + 1φ ≈ 0.618；
再次求差，4 - 2φ - (-1 + 1φ) = 5 - 3φ ≈ 0.145
0.145以下最大的φ的冪是 φ^－4 = 5 - 3φ ≈ 0.145；
再次求差得到0
於是：　5 = φ³ + φ^－1 + φ^－4

5用φ進制表示就是1000.1001_φ。

這裏其實利用了以下事實：凡φ的冪都可以用整數a、b表示成 a + b φ 的形式。因為 φ² = φ + 1 、φ^－1 = -1 + φ 。如此一來，數之間比大小就容易了。實際上，a + bφ > c + dφ 和 2(a － c) － (d － b) > (d － b) × √5 等價。只需將 φ = (1+√5)/2 代入，稍作處理就可得到這一結果。

黃金進制下的有限小數不全是整數，還包括環 $\mathbb {Z} [\phi ]:=\{a+b\phi \mid a,b\in \mathbb {Z} \}$ 的元素。

數的表示不唯一

和其他進位制相同，黃金進制中也可以用多種形式表示同一個數。就像10進制中0.999...=1，φ進制中0.1010101…_φ=1。

使用非標準形變換：1 = 0.11_φ = 0.1011_φ = 0.101011_φ = … = 0.10101010…_φ
使用等比級數展開：1.0101010…_φ 等於
$\sum _{k=0}^{\infty }\phi ^{-2k}={\frac {1}{1-\phi ^{-2}}}=\phi$
錯項相減：φ² x - x = 10.101010…_φ - 0.101010…_φ = 10_φ = φ 所以 x = φ/(φ² － 1) = 1

這種不唯一是進位制的特徵，1.0000和0.101010…都是標準形。一般地，φ進位制中數最後的1用01循環代替即可得到另一標準形。

有理數的黃金進制表示

在黃金進制中，可以用有限小數或者循環小數表示任意非負有理數，以及從有理數和√5生成的域Q[√5]中的非負元素。其中

\mathbb {Q} (\phi )=\mathbb {Q} ({\sqrt {5}}):=\{a+b{\sqrt {5}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \}

相反地，黃金進制中的有限/循環小數都是Q[√5] 中的非負元素。例如：

1/2 ≈ 0.010 010 010 010 ... _φ
1/3 ≈ 0.00101000 00101000 00101000... _φ
√5 = 10.1_φ
2+(1/13)√5 ≈ 10.010 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000 ..._φ

對這一點的證明與十進制中類似。在黃金進制下進行長除法。因為其餘數的可能值是有限個，所以必定會出現循環。例如 1/2 = 1/10.01_φ = 100_φ/1001_φ 進行長除法如下：

               .0 1 0 0 1
        ________________________
1 0 0 1 ) 1 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0
            1 0 0 1                        代换 10000 = 1100 = 1011
            _______                        于是 10000-1001 = 1011-1001 = 10
                1 0 0 0 0
                  1 0 0 1
                  _______
                      etc.

反之，黃金進制中的循環小數都屬於Q[√5]。因為循環部分形成了等比級數，對它求和即可得到Q[√5]的元素。

無理數的黃金進制表示

常見無理數的黃金進制表示如下：

π ≈ 100.010010101001000101010100 …_φ （OEIS數列A102243）
e ≈ 100.000010000100100000000100 …_φ （OEIS數列A105165）
√2 ≈ 1.0100000101001010010000000101 …_φ （OEIS數列A352678）
φ = ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ = 10_φ（在此計數系統為整數）
√5 = 10.1_φ

四則運算

在黃金進制中可以和其它進制一樣進行四則運算。加法、減法、乘法的計算方法如下：

加、減、乘

先計算，後轉化

即先對每一位按十進制數的方法計算，但不進行進位、借位，計算完再轉化為標準形。例如：

2+3 = 10.01 + 100.01 = 110.02 = 110.1001 = 1000.1001

2×3 = 10.01 × 100.01 = 1000.1 + 1.0001 = 1001.1001 = 1010.0001

7-2 = 10000.0001 - 10.01 = 10010.0101 = 1110.0101 = 1001.0101 = 1000.1001

避免0和1以外的數

更加自然的做法是將數轉化為非標準形，以避免出現需要進位和借位的 1+1 或 0-1 。例如：

2+3 = 10.01 + 100.01 = 10.01 + 100.0011 = 110.0111 = 1000.1001

7-2 = 10000.0001 - 10.01 = 1100.0001 - 10.01 = 1011.0001 - 10.01 = 1010.1101 - 10.01 = 1000.1001

除法

除了整數以外，所有有理數都不能用有限位φ進制數表示。也就是說，黃金進制中能用有限小數表示的數只有整數或者域Q[√5]中的無理數。兩個整數相除得到有理數的情況已經在上文說明了。

斐波那契進制

斐波那契進制（Fibonaccimal Base）是與黃金進制關係緊密的計數系統。它只用0和1表示數，每個數位的位值對應斐波那契數^[1]。和黃金進制一樣，其標準形也不連續使用兩個1。如：

30 = 1×21 + 0×13 + 1×8 + 0×5 + 0×3 + 0×2 + 1×1 + 0×1 = 10100010_fib.

由於最末位始終為零，因此有時會將之省去^[1]，而省去後的結果則與齊肯多夫表述法相同^[2]。

參見

進位制

外部連結

Using Powers of Phi to represent Integers (Base Phi)（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

參考資料

^ ^1.0 ^1.1 Fibonaccimal Base. onlinejudge.org. [2022-10-06]. （原始內容存檔於2022-10-09）.
^ Sloane, N.J.A. (編). Sequence A014417 (Representation of n in base of Fibonacci numbers (the Zeckendorf representation of n)). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

Bergman, George, A Number System with an Irrational Base, Mathematics Magazine, 1957, 31 (2): 98–110 [2011-01-13], doi:10.2307/3029218, （原始內容存檔於2015-11-07）
Plojhar, Jozef, the Good~natured Rabbit~breeder, Manifold, 1971, 11: 26–30

[Fibonaccimal_Base-1] 1.0 ^1.1 Fibonaccimal Base. onlinejudge.org. [2022-10-06]. （原始內容存檔於2022-10-09）.

[2] Sloane, N.J.A. (編). Sequence A014417 (Representation of n in base of Fibonacci numbers (the Zeckendorf representation of n)). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[1]

[2]