一個閉區間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
的一個分割 P 是指在此區間中取一個有限的點列
a
=
x
0
<
x
1
<
x
2
<
…
<
x
n
=
b
{\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}
。(由a至b內的所有x)
每個閉區間
[
x
i
,
x
i
+
1
]
{\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}
叫做一個子區間 。定義
λ
{\displaystyle \lambda }
為這些子區間長度的最大值:
λ
=
max
(
x
i
+
1
−
x
i
)
{\displaystyle \lambda =\max(x_{i+1}-x_{i})}
,其中
0
≤
i
≤
n
−
1
{\displaystyle 0\leq i\leq n-1}
。
再定義取樣分割 。一個閉區間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
的一個取樣分割是指在進行分割
a
=
x
0
<
x
1
<
x
2
<
…
<
x
n
=
b
{\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}
後,於每一個子區間中
[
x
i
,
x
i
+
1
]
{\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}
取出一點
x
i
≤
t
i
≤
x
i
+
1
{\displaystyle x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}}
。
λ
{\displaystyle \lambda }
的定義同上。
精細化分割 :設
x
0
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
以及
t
0
,
…
,
t
n
−
1
{\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}
構成了閉區間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
的一個取樣分割,
y
0
,
…
,
y
m
{\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}
和
s
0
,
…
,
s
m
−
1
{\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}
是另一個分割。如果對於任意
0
≤
i
≤
n
{\displaystyle 0\leq i\leq n}
,都存在
r
(
i
)
{\displaystyle r(i)}
使得
x
i
=
y
r
(
i
)
{\displaystyle x_{i}=y_{r(i)}}
,並存在
r
(
i
)
≤
j
<
r
(
i
+
1
)
{\displaystyle r(i)\leq j<r(i+1)}
使得
t
i
=
s
j
{\displaystyle t_{i}=s_{j}}
,那麼就把分割:
y
0
,
…
,
y
m
{\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}
、
s
0
,
…
,
s
m
−
1
{\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}
稱作分割
x
0
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
、
t
0
,
…
,
t
n
−
1
{\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}
的一個精細化分割 。簡單來說,就是說後一個分割是在前一個分割的基礎上添加一些分點和標記。
於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係 ,稱作「精細」。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割,就說前者比後者更「精細」。
對一個在閉區間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
有定義的實值函數
f
{\displaystyle f}
,
f
{\displaystyle f}
關於取樣分割
x
0
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
、
t
0
,
…
,
t
n
−
1
{\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}
的黎曼和 (積分和 )定義為以下和式:
∑
i
=
0
n
−
1
f
(
t
i
)
(
x
i
+
1
−
x
i
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})}
和式中的每一項是子區間長度
x
i
+
1
−
x
i
{\displaystyle x_{i+1}-x_{i}}
與在
t
i
{\displaystyle t_{i}}
處的函數值
f
(
t
i
)
{\displaystyle f(t_{i})}
的乘積。直觀地說,就是以標記點
t
i
{\displaystyle t_{i}}
到X軸的距離 為高,以分割的子區間為長的矩形 的面積。
不太嚴格地來說,黎曼積分就是當分割越來越「精細」的時候,黎曼和趨向的極限。下面的證明中,會對「越來越『精細』」作出嚴格的定義。
要使得「越來越『精細』」有效,需要把
λ
{\displaystyle \lambda }
趨於0。如此
[
x
i
,
x
i
+
1
]
{\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}
中的函數值才會與
f
(
t
i
)
{\displaystyle f(t_{i})}
接近,矩形面積的和與「曲線下方」的面積的差也會越來越小。實際上,這就是黎曼積分定義的大概描述。
嚴格定義如下 :
S
{\displaystyle S}
是函數
f
{\displaystyle f}
在閉區間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
上的黎曼積分,當且僅當對於任意的
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
,都存在
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
,使得對於任意的取樣分割
x
0
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
、
t
0
,
…
,
t
n
−
1
{\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}
,只要它的子區間長度最大值
λ
≤
δ
{\displaystyle \lambda \leq \delta }
,就有:
|
∑
i
=
0
n
−
1
f
(
t
i
)
(
x
i
+
1
−
x
i
)
−
S
|
<
ϵ
.
{\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})-S\right|<\epsilon .\,}
也就是說,對於一個函數
f
{\displaystyle f}
,如果在閉區間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
上,無論怎樣進行取樣分割,只要它的子區間長度最大值足夠小,函數
f
{\displaystyle f}
的黎曼和都會趨向於一個確定的值,那麼
f
{\displaystyle f}
在閉區間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
上的黎曼積分存在,並且定義為黎曼和的極限,這時候稱函數
f
{\displaystyle f}
為黎曼可積 的。
這個定義的缺陷是沒有可操作性,因為要檢驗所有
λ
≤
δ
{\displaystyle \lambda \leq \delta }
的取樣分割是難以做到的。下面引進另一個定義,然後證明它們是等價的。
另一個定義 :
S
{\displaystyle S}
是函數
f
{\displaystyle f}
在閉區間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
上的黎曼積分,當且僅當對於任意的
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
,都存在一個取樣分割
x
0
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
、
t
0
,
…
,
t
n
−
1
{\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}
,使得對於任何比其「精細」的分割
y
0
,
…
,
y
m
{\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}
and
s
0
,
…
,
s
m
−
1
{\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}
,都有:
|
∑
i
=
0
m
−
1
f
(
s
i
)
(
y
i
+
1
−
y
i
)
−
S
|
<
ϵ
.
{\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{m-1}f(s_{i})(y_{i+1}-y_{i})-S\right|<\epsilon .\,}
這兩個定義是等價的。如果有一個
S
{\displaystyle S}
滿足了其中一個定義,那麼它也滿足另一個。首先,如果有一個
S
{\displaystyle S}
滿足第一個定義,那麼只需要在子區間長度最大值
λ
≤
δ
{\displaystyle \lambda \leq \delta }
的分割中任取一個。對於比其精細的分割,子區間長度最大值顯然也會小於
δ
{\displaystyle \delta }
,於是滿足
|
∑
i
=
0
m
−
1
f
(
s
i
)
(
y
i
+
1
−
y
i
)
−
S
|
<
ϵ
.
{\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{m-1}f(s_{i})(y_{i+1}-y_{i})-S\right|<\epsilon .\,}
其次證明滿足第二個定義的
S
{\displaystyle S}
也滿足第一個定義。首先引進達布積分 的概念,第二個定義和達布積分的定義是等價的,具體見達布積分 。其次我們證明達布積分 的定義滿足第一個定義。任選一個分割
x
0
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
使得它的上達布和 與下達布和 都與
S
{\displaystyle S}
相差不超過
ϵ
2
{\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}}
。令
r
{\displaystyle r}
等於
max
0
≤
i
≤
n
−
1
(
M
i
−
m
i
)
{\displaystyle \max _{0\leq i\leq n-1}(M_{i}-m_{i})}
,其中
M
i
{\displaystyle M_{i}}
和
m
i
{\displaystyle m_{i}}
是
f
{\displaystyle f}
在
[
x
i
,
x
i
+
1
]
{\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}
上的上確界 和下確界 。再令
δ
{\displaystyle \delta }
是
ϵ
2
r
n
{\displaystyle {\frac {\epsilon }{2rn}}}
和
min
0
≤
i
≤
n
−
1
(
x
i
+
1
−
x
i
)
{\displaystyle \min _{0\leq i\leq n-1}(x_{i+1}-x_{i})}
中的較小者。可以看出,當一個分割的子區間長度最大值小於
δ
{\displaystyle \delta }
時,
f
{\displaystyle f}
關於它的黎曼和與上達布和 或下達布和 至多相差
ϵ
2
{\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}}
,所以和
S
{\displaystyle S}
至多相差
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
。
由於以上原因,黎曼積分通常被定義為達布積分(即第二個定義),因為達布積分比黎曼積分更簡單、更有可操作性。
黎曼積分可推廣到值屬於
n
{\displaystyle n}
維空間
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
的函數。積分是線性定義的,即如果
f
=
(
f
1
,
…
,
f
n
)
{\displaystyle \mathbf {f} =(f_{1},\dots ,f_{n})}
,則
∫
f
=
(
∫
f
1
,
…
,
∫
f
n
)
{\displaystyle \int \mathbf {f} =(\int f_{1},\,\dots ,\int f_{n})}
。特別地,由於複數是實數向量空間 ,故值為複數的函數也可定義積分。
黎曼積分只定義在有界區間上,擴展到無界區間並不方便。可能最簡單的擴展是通過極限來定義積分,即如同反常積分 (improper integral)一樣。我們可以令
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
d
t
=
lim
x
→
∞
∫
−
x
x
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{x\to \infty }\int _{-x}^{x}f(t)\,dt.}
不幸的是,這並不是很合適。平移不變性(如果把一個函數向左或向右平移,它的黎曼積分應該保持不變)喪失了。例如,令
f
(
x
)
=
1
{\displaystyle f(x)=1}
若
x
>
0
{\displaystyle x>0}
,
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(0)=0}
,
f
(
x
)
=
−
1
{\displaystyle f(x)=-1}
若
x
<
0
{\displaystyle x<0}
。則對所有
x
{\displaystyle x}
∫
−
x
x
f
(
t
)
d
t
=
∫
−
x
0
f
(
t
)
d
t
+
∫
0
x
f
(
t
)
d
t
=
−
x
+
x
=
0
{\displaystyle \int _{-x}^{x}f(t)\,dt=\int _{-x}^{0}f(t)\,dt+\int _{0}^{x}f(t)\,dt=-x+x=0}
.
但如果我們將
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
向右平移一個單位得到
f
(
x
−
1
)
{\displaystyle f(x-1)}
,則對所有
x
>
1
{\displaystyle x>1}
,我們得到
∫
−
x
x
f
(
t
−
1
)
d
t
=
∫
−
x
1
f
(
t
−
1
)
d
t
+
∫
1
x
f
(
t
−
1
)
d
t
=
−
(
x
+
1
)
+
(
x
−
1
)
=
−
2
{\displaystyle \int _{-x}^{x}f(t-1)\,dt=\int _{-x}^{1}f(t-1)\,dt+\int _{1}^{x}f(t-1)\,dt=-(x+1)+(x-1)=-2}
.
由於這是不可接受的,我們可以嘗試定義:
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
d
t
=
lim
a
→
−
∞
lim
b
→
∞
∫
a
b
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{a\to -\infty }\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(t)\,dt.}
此時,如果嘗試對上面的
f
{\displaystyle f}
積分,我們得到
+
∞
{\displaystyle +\infty }
,因為我們先使用了極限
b
→
∞
{\displaystyle b\to \infty }
。如果使用相反的極限順序,我們得到
−
∞
{\displaystyle -\infty }
。
這同樣也是不可接受的,我們要求積分存在且與積分順序無關。即使這滿足,依然不是我們想要的,因為黎曼積分與一致極限不再具有可交換性。例如,令
f
n
(
x
)
=
1
/
n
{\displaystyle f_{n}(x)=1/n}
在
[
0
,
n
]
{\displaystyle [0,n]}
上,其它域上等於0。對所有
n
{\displaystyle n}
,
∫
f
n
d
x
=
1
{\displaystyle \int f_{n}\,dx=1}
。但
f
n
{\displaystyle f_{n}}
均勻收斂於0,因此
lim
f
n
{\displaystyle \lim f_{n}}
的積分是0。因此
∫
f
d
x
≠
lim
∫
f
n
d
x
{\displaystyle \int f\,dx\not =\lim \int f_{n}\,dx}
。即使這是正確的值,可看出對於極限與普通積分可交換的重要準則對反常積分不適用。這限制了黎曼積分的應用。
一個更好的途徑是拋棄黎曼積分而採用勒貝格積分 。雖然勒貝格積分是黎曼積分的擴展這點看上去並不是顯而易見,但不難證明每個黎曼可積函數都是勒貝格可積的,並且當二者都有定義時積分值也是一致的。
事實上黎曼積分的一個直接擴展是Henstock–Kurzweil積分 。
擴展黎曼積分的另一種途徑是替換黎曼累加定義中的因子
x
i
−
x
i
+
1
{\displaystyle x_{i}-x_{i+1}}
,粗略地說,這給出另一種意義上長度間距的積分。這是黎曼-斯蒂爾切斯積分 所採用的方法。