一個閉區間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
分割 P
a
=
x
0
<
x
1
<
x
2
<
…
<
x
n
=
b
{\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}
[
x
i
,
x
i
+
1
]
{\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}
子區間 。定義
λ
{\displaystyle \lambda }
λ
=
max
(
x
i
+
1
−
x
i
)
{\displaystyle \lambda =\max(x_{i+1}-x_{i})}
0
≤
i
≤
n
−
1
{\displaystyle 0\leq i\leq n-1}
再定義取樣分割 。一個閉區間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
a
=
x
0
<
x
1
<
x
2
<
…
<
x
n
=
b
{\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}
[
x
i
,
x
i
+
1
]
{\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}
x
i
≤
t
i
≤
x
i
+
1
{\displaystyle x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}}
λ
{\displaystyle \lambda }
精細化分割 ：設
x
0
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
t
0
,
…
,
t
n
−
1
{\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}
閉區間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
y
0
,
…
,
y
m
{\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}
s
0
,
…
,
s
m
−
1
{\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}
0
≤
i
≤
n
{\displaystyle 0\leq i\leq n}
r
(
i
)
{\displaystyle r(i)}
x
i
=
y
r
(
i
)
{\displaystyle x_{i}=y_{r(i)}}
r
(
i
)
≤
j
<
r
(
i
+
1
)
{\displaystyle r(i)\leq j<r(i+1)}
t
i
=
s
j
{\displaystyle t_{i}=s_{j}}
y
0
,
…
,
y
m
{\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}
s
0
,
…
,
s
m
−
1
{\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}
x
0
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
t
0
,
…
,
t
n
−
1
{\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}
精細化分割 。簡單來說，就是說後一個分割是在前一個分割的基礎上添加一些分點和標記。
於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係 ，稱作「精細」。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割，就說前者比後者更「精細」。
對一個在閉區間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
x
0
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
t
0
,
…
,
t
n
−
1
{\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}
黎曼和 （積分和 ）定義為以下和式：
∑
i
=
0
n
−
1
f
(
t
i
)
(
x
i
+
1
−
x
i
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})}
和式中的每一項是子區間長度
x
i
+
1
−
x
i
{\displaystyle x_{i+1}-x_{i}}
t
i
{\displaystyle t_{i}}
f
(
t
i
)
{\displaystyle f(t_{i})}
t
i
{\displaystyle t_{i}}
距離 為高，以分割的子區間為長的矩形 的面積。
不太嚴格地來說，黎曼積分就是當分割越來越「精細」的時候，黎曼和趨向的極限。下面的證明中，會對「越來越『精細』」作出嚴格的定義。
要使得「越來越『精細』」有效，需要把
λ
{\displaystyle \lambda }
[
x
i
,
x
i
+
1
]
{\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}
f
(
t
i
)
{\displaystyle f(t_{i})}
嚴格定義如下 ：
S
{\displaystyle S}
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
x
0
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
t
0
,
…
,
t
n
−
1
{\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}
λ
≤
δ
{\displaystyle \lambda \leq \delta }
|
∑
i
=
0
n
−
1
f
(
t
i
)
(
x
i
+
1
−
x
i
)
−
S
|
<
ϵ
.
{\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})-S\right|<\epsilon .\,}
也就是說，對於一個函數
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
f
{\displaystyle f}
黎曼可積 的。
這個定義的缺陷是沒有可操作性，因為要檢定所有
λ
≤
δ
{\displaystyle \lambda \leq \delta }
另一個定義 :
S
{\displaystyle S}
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
x
0
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
t
0
,
…
,
t
n
−
1
{\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}
y
0
,
…
,
y
m
{\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}
s
0
,
…
,
s
m
−
1
{\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}
|
∑
i
=
0
m
−
1
f
(
s
i
)
(
y
i
+
1
−
y
i
)
−
S
|
<
ϵ
.
{\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{m-1}f(s_{i})(y_{i+1}-y_{i})-S\right|<\epsilon .\,}
這兩個定義是等價的。如果有一個
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
λ
≤
δ
{\displaystyle \lambda \leq \delta }
δ
{\displaystyle \delta }
|
∑
i
=
0
m
−
1
f
(
s
i
)
(
y
i
+
1
−
y
i
)
−
S
|
<
ϵ
.
{\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{m-1}f(s_{i})(y_{i+1}-y_{i})-S\right|<\epsilon .\,}
其次證明滿足第二個定義的
S
{\displaystyle S}
達布積分 達布積分 。其次我們證明達布積分 的定義滿足第一個定義。任選一個分割
x
0
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
上達布和 與下達布和 都與
S
{\displaystyle S}
ϵ
2
{\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}}
r
{\displaystyle r}
max
0
≤
i
≤
n
−
1
(
M
i
−
m
i
)
{\displaystyle \max _{0\leq i\leq n-1}(M_{i}-m_{i})}
M
i
{\displaystyle M_{i}}
m
i
{\displaystyle m_{i}}
f
{\displaystyle f}
[
x
i
,
x
i
+
1
]
{\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}
上確界 和下確界 。再令
δ
{\displaystyle \delta }
ϵ
2
r
n
{\displaystyle {\frac {\epsilon }{2rn}}}
min
0
≤
i
≤
n
−
1
(
x
i
+
1
−
x
i
)
{\displaystyle \min _{0\leq i\leq n-1}(x_{i+1}-x_{i})}
δ
{\displaystyle \delta }
f
{\displaystyle f}
上達布和 或下達布和 至多相差
ϵ
2
{\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}}
S
{\displaystyle S}
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
由於以上原因，黎曼積分通常被定義為達布積分（即第二個定義），因為達布積分比黎曼積分更簡單、更有可操作性。
黎曼積分可推廣到值屬於
n
{\displaystyle n}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
f
=
(
f
1
,
…
,
f
n
)
{\displaystyle \mathbf {f} =(f_{1},\dots ,f_{n})}
∫
f
=
(
∫
f
1
,
…
,
∫
f
n
)
{\displaystyle \int \mathbf {f} =(\int f_{1},\,\dots ,\int f_{n})}
向量空間 ，故值為複數的函數也可定義積分。
黎曼積分只定義在有界區間上，擴展到無界區間並不方便。可能最簡單的擴展是通過極限來定義積分，即如同反常積分 （improper integral）一樣。我們可以令
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
d
t
=
lim
x
→
∞
∫
−
x
x
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{x\to \infty }\int _{-x}^{x}f(t)\,dt.}
不幸的是，這並不是很合適。平移不變性（如果把一個函數向左或向右平移，它的黎曼積分應該保持不變）喪失了。例如，令
f
(
x
)
=
1
{\displaystyle f(x)=1}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(0)=0}
f
(
x
)
=
−
1
{\displaystyle f(x)=-1}
x
<
0
{\displaystyle x<0}
x
{\displaystyle x}
∫
−
x
x
f
(
t
)
d
t
=
∫
−
x
0
f
(
t
)
d
t
+
∫
0
x
f
(
t
)
d
t
=
−
x
+
x
=
0
{\displaystyle \int _{-x}^{x}f(t)\,dt=\int _{-x}^{0}f(t)\,dt+\int _{0}^{x}f(t)\,dt=-x+x=0}
但如果我們將
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
−
1
)
{\displaystyle f(x-1)}
x
>
1
{\displaystyle x>1}
∫
−
x
x
f
(
t
−
1
)
d
t
=
∫
−
x
1
f
(
t
−
1
)
d
t
+
∫
1
x
f
(
t
−
1
)
d
t
=
−
(
x
+
1
)
+
(
x
−
1
)
=
−
2
{\displaystyle \int _{-x}^{x}f(t-1)\,dt=\int _{-x}^{1}f(t-1)\,dt+\int _{1}^{x}f(t-1)\,dt=-(x+1)+(x-1)=-2}
由於這是不可接受的，我們可以嘗試定義：
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
d
t
=
lim
a
→
−
∞
lim
b
→
∞
∫
a
b
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{a\to -\infty }\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(t)\,dt.}
此時，如果嘗試對上面的
f
{\displaystyle f}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
b
→
∞
{\displaystyle b\to \infty }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
這同樣也是不可接受的，我們要求積分存在且與積分順序無關。即使這滿足，依然不是我們想要的，因為黎曼積分與一致極限不再具有可交換性。例如，令
f
n
(
x
)
=
1
/
n
{\displaystyle f_{n}(x)=1/n}
[
0
,
n
]
{\displaystyle [0,n]}
n
{\displaystyle n}
∫
f
n
d
x
=
1
{\displaystyle \int f_{n}\,dx=1}
f
n
{\displaystyle f_{n}}
lim
f
n
{\displaystyle \lim f_{n}}
∫
f
d
x
≠
lim
∫
f
n
d
x
{\displaystyle \int f\,dx\not =\lim \int f_{n}\,dx}
一個更好的途徑是拋棄黎曼積分而採用勒貝格積分 。雖然勒貝格積分是黎曼積分的擴展這點看上去並不是顯而易見，但不難證明每個黎曼可積函數都是勒貝格可積的，並且當二者都有定義時積分值也是一致的。
事實上黎曼積分的一個直接擴展是Henstock–Kurzweil積分 。
擴展黎曼積分的另一種途徑是替換黎曼累加定義中的因子
x
i
−
x
i
+
1
{\displaystyle x_{i}-x_{i+1}}
黎曼-斯蒂爾切斯積分 所採用的方法。
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} _{<0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08f742493db4af7b3e47059a5196638caaf8ae11)
![{\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7138606cdb8eb7dddaba59b5aefe1ade6bc05a1b)
![{\displaystyle [a,c]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b45aa26fb924cdd37786af1adcf5d58cfe15af)
![{\displaystyle [c,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07f3f774df12e18b9f2bb94333ff320bbd2c308d)
![{\displaystyle [a,b],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d493b840f8326ba81ff9d95b4edf1effd5f2842)
![{\displaystyle [0,n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcc2257be9f01b9d99b472f230da52da8aab84a8)
