Verma模

Verma模（Verma module）是李代數表示理論中的基本研究對象，其名取自Daya-Nand Verma。Verma模之間的態射相應於旗流形上的不變微分算子。

可用Verma模來證明以下命題：最高權為$\lambda$的最高權表示的維數有限，若且僅若$\lambda$是支配整權（dominant integral weight）。

Verma模的定義

設：

• $F$為一域；
• ${\mathfrak {g}}$，為$F$上一半單李代數；
  • ${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})$為其泛包絡代數
  • ${\mathfrak {b}}$為其一Borel子代數
    • ${\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})$為其泛包絡代數
  • ${\mathfrak {h}}$為其一嘉當子代數
• $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}$為一固定之權。
• $F_{\lambda }$為$F$上的一維向量空間， 賦與${\mathfrak {b}}$-模結構：${\mathfrak {h}}$的作用為「乘以$\lambda$」，正根的作用為零。由於$F_{\lambda }$是一左${\mathfrak {b}}$－模，他同時亦是一左${\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})$－模。
• 由Poincaré-Birkhoff-Witt定理，${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})$有一自然右${\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})$－模結構。由於${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})$亦是一左${\mathfrak {g}}$－模， 所以是$({\mathfrak {g}},{\mathcal {U}}({\mathfrak {b}}))$-雙模。
• 定義（最高權為$\lambda$之）Verma模 為

$M_{\lambda }={\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})\otimes _{{\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})}F_{\lambda }$

此自然地是一左${\mathfrak {g}}$－模。從Poincaré-Birkhoff-Witt定理可知：$M_{\lambda }$，作為一向量空間，同構於

${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}}_{-})\otimes _{F}F_{\lambda }$

其中${\mathfrak {g}}_{-}$為${\mathfrak {g}}$之負根生成之子李代數。

基本性質

作為${\mathfrak {g}}$－模，Verma模是一最高權表示，即整個模由一最高權向量生成。此最高權向量是$1\otimes 1$的像（其中前$1$為${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})$之單位，後$1$為域$F$之單位元）；其權為$\lambda$。

Verma模是weight modules，即$M_{\lambda }$是其權子空間之直和。每一權子空間$M_{\mu }$是有限維的，其維度是$M_{\mu }$權$\lambda -\mu$寫成正根之和之方法之數（參見Kostant partition function）。

Verma模有一重要性質：若$V$為任一最高權模，其最高權為$\lambda$，則存在一${\mathfrak {g}}$ 滿射：$M_{\lambda }\to V$。換言之，任何最高權模都是$M_{\lambda }$的商模。

$M_{\lambda }$內存在唯一極大子模，而$M_{\lambda }$與此子模之商是不可約的。

Verma模$M_{\lambda }$本身不可約 若且僅若 當其最高權$\lambda$分解成基本權（fundamental weight）之和時，每一系數都不是$\{0,1,2,\ldots \}$。

稱Verma模$M_{\lambda }$為regular，若其最高權λ位於一支配權${\tilde {\lambda }}$之仿射Weyl軌跡上。換言之，存在Weyl羣的元素w，使

$\lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}$，

其中$\cdot$是Weyl羣的仿射作用。

稱Verma模$M_{\lambda }$為singular，若λ的仿射軌跡上無支配權。此時，存在權${\tilde {\lambda }}$使${\tilde {\lambda }}+\delta$落於基本Weyl室之牆上；（其 中δ為各基本權之和）。

Verma模之間的態射

設$\lambda ,\mu$為兩權。若存在態射

$M_{\mu }\rightarrow M_{\lambda }$，

則${\mathfrak {g}}$的Weyl羣$W$的 仿射作用$W$必然能把$\mu$帶到$\lambda$。此為Harish-Chandra無限小中心特徵標定理之一推論。

每一Verma模 態射都是單射。態射空間之維度

$dim(Hom(M_{\mu },M_{\lambda }))\leq 1$

其中$\mu ,\lambda$為任何兩權。因此，存在一非零態射$M_{\mu }\rightarrow M_{\lambda }$若且僅若$M_{\mu }$ 同構於$M_{\lambda }$的一（唯一）子模。

Verma模態射的完整分類來自I.N.伯恩斯坦、I.M.蓋爾芳特 與S.I.蓋爾芳特 的工作與N. Verma的工作。簡言之，

存在非零態射

$M_{\mu }\rightarrow M_{\lambda }$若且僅若 存在一串權

$\mu =\nu _{0}\leq \nu _{1}\leq \ldots \leq \nu _{k}=\lambda$

使得存在正根$\gamma _{i}$使$\nu _{i-1}+\delta =s_{\gamma _{i}}(\nu _{i}+\delta )$（其中$s_{\gamma _{i}}$是根反映（根系），而$\delta$是所有基本權之和）且對每一$1\leq i\leq k$，$(\nu _{i}+\delta )(H_{\gamma _{i}})$為一自然數（其中$H_{\gamma _{i}}$是根$\gamma _{i}$之對偶根（coroot））。

若Verma模$M_{\mu }$與$M_{\lambda }$俱為regular，則僅存支配權${\tilde {\lambda }}$與Weyl羣元w, w′使

P$\mu =w'\cdot {\tilde {\lambda }}$

而且

$\lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }},$

其中$\cdot$為Weyl羣的仿射作用。設此等權是整權（integral weight）。存在非零態射

$M_{\mu }\to M_{\lambda }$

若且僅若，在Weyl羣W 的Bruhat次序中，

$w\leq w'$。

Jordan-Holder序列

設

$0\subset A\subset B\subset M_{\lambda }$

為一${\mathfrak {g}}$－模序列，其中B/A為不可約表示，其最高權為μ。則存在非零態射$M_{\mu }\to M_{\lambda }$。

推論： 設$V_{\mu },V_{\lambda }$為二最高權表示。若

$V_{\mu }\subset V_{\lambda }$

則存在非零態射$M_{\mu }\to M_{\lambda }$。

伯恩斯坦-蓋爾芳特-蓋爾芳特 分解

設$V_{\lambda }$為李代數${\mathfrak {g}}$的一有限維不可約表示，其最高權為λ。我們已知：存在非零態射

$M_{w'\cdot \lambda }\to M_{w\cdot \lambda }$

若且僅若，在其Weyl羣的Bruhat次序中，

$w\leq w'$。

以下定理描述如何分解$V_{\lambda }$成Verma模的正合序列。 （此定理出現於 伯恩斯坦-蓋爾芳特-蓋爾芳特1975年的論文）:

存在由${\mathfrak {g}}$－態射組成的正合序列

$0\to \oplus _{w\in W,\,\,l(w)=n}M_{w\cdot \lambda }\to \ldots \to \oplus _{w\in W,\,\,l(w)=2}M_{w\cdot \lambda }\to \oplus _{w\in W,\,\,l(w)=1}M_{w\cdot \lambda }\to M_{\lambda }\to V_{\lambda }\to 0$

其中n為Weyl羣最長元之長度。

一般研究員簡稱其為「BGG分解」。 廣義Verma模亦有類似分解。

近來有人研究此等分解之某些特例，以助理解拋物幾何（parabolic geometries，嘉當幾何之特例）上之不變微分算子。嘉當幾何的定義依賴於一李羣G與其拋物子羣P。參閲、與。

參攷

• Knapp, A. W. Lie Groups Beyond an troduction. Second Edition. (2002), page 285.
• Dixmier, J., Enveloping Algebras, North-Holland, Amsterdam, New York, Oxford, 1977
• Humphreys J., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Verlag, 1980
• Roggenkamp K., Stefanescu M., Algebra - Representation Theory, Springer, 2002

參見

• 李代數表示論
• 泛包絡代數
• 廣義Verma模
• 最高權表示

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