克劳修斯-莫索提方程式

克劳修斯-莫索提方程式（Clausius-Mossotti equation）表达了线性介电质的极化性和相对电容率之间的关系，是因意大利物理学者莫索提（Ottaviano-Fabrizio Mossotti）和德国物理学者鲁道夫·克劳修斯而命名。这方程式也可以更改为表达极化性和折射率之间的关系，此时称为洛伦兹-洛伦茨方程式（Lorentz-Lorenz equation）。

极化性是一种微观属性，而相对电容率则是在介电质内部的一种巨观属性，所以，这方程式式连结了介电质关于电极化的微观属性与巨观属性。

导引

一个分子的极化性$\alpha$定义为

$\mathbf {p} \ {\stackrel {def}{=}}\ \alpha \mathbf {E}$；

其中，$\mathbf {p}$是分子的感应电偶极矩，$\mathbf {E}$是作用于分子的电场。

介电质的电极化强度定义为总电偶极矩每单位面积：

$\mathbf {P} (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{j}N_{j}(\mathbf {r} )\mathbf {p} _{j}(\mathbf {r} )$；

其中，$\mathbf {P}$是电极化强度，$\mathbf {r}$是检验位置，$N_{j}$、$\mathbf {p} _{j}$分别是分子$j$ 的数量每单位面积与电偶极矩。

总合介电质内每一种分子的贡献，就可以计算出介电质的电极化强度。将极化性的定义式代入，可以得到

$\mathbf {P} (\mathbf {r} )=\sum _{j}N_{j}(\mathbf {r} )\alpha _{j}\mathbf {E} (\mathbf {r} )$。

当计算这方程式时，必需先知道在分子位置的电场，称为“局域电场”$\mathbf {E} _{local}$。介电质内部的微观电场，从一个位置到另外位置，其变化可能会相当剧烈，在电子或质子附近，电场很大，距离稍微远一点，电场呈平方反比减弱。所以，很难计算这么复杂的电场的物理行为。幸运地是，对于大多数计算，并不需要这么详细的描述。所以，只要选择一个足够大的区域（例如，体积为$V'$、内中含有上千个分子的圆球体$\mathbb {V} '$）来计算微观电场$\mathbf {E} _{micro}$的平均值，称为“巨观电场”$\mathbf {E} _{macro}$，就可以足够准确地计算出巨观物理行为：

$\mathbf {E} _{macro}={\frac {1}{V'}}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {E} _{micro}\ \mathrm {d} ^{3}r'$。

对于稀薄介电质，分子与分子之间的距离相隔很远，邻近分子的贡献很小，局域电场可以近似为巨观电场　$\mathbf {E} _{macro}$：

$\mathbf {E} _{local}\approx \mathbf {E} _{macro}$。

但对于致密介电质，分子与分子之间的距离相隔很近，邻近分子的贡献很大，必需将邻近分子的贡献$\mathbf {E} _{1}$纳入考量：

$\mathbf {E} _{local}=\mathbf {E} _{macro}+\mathbf {E} _{1}$。

因为巨观电场已经包括了电极化所产生的电场（称为“去极化场”）$\mathbf {E} _{p}$，为了不重复计算，在计算$\mathbf {E} _{1}$时，必需将邻近分子的真实贡献$\mathbf {E} _{near}$减掉去极化场：

$\mathbf {E} _{1}=\mathbf {E} _{near}-\mathbf {E} _{p}$。

举一个简单案例，根据洛伦兹关系（Lorentz Relation），对于立方晶系结构的晶体或各向同性的介电质，由于高度的对称性， $\mathbf {E} _{near}=0$。

现在思考以分子位置$\mathbf {r}$为圆心、体积为$V'$的圆球体$\mathbb {V} '$，感受到外电场的作用，$\mathbb {V} '$内部的束缚电荷会被电极化，从而产生电极化强度$\mathbf {P}$。假设在$\mathbb {V} '$内部的电极化强度$\mathbf {P}$相当均匀，则电极化强度$\mathbf {P}$与$\mathbb {V} '$的电偶极矩之间的关系为

$\mathbf {p} =\mathbf {P} V'$。

这线性均匀介电质圆球体内部的电场为

$\mathbf {E} _{p}=-{\frac {\mathbf {P} }{3\epsilon _{0}}}$。

综合前面得到的结果：

$\mathbf {P} =\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}(\mathbf {E} _{macro}-\mathbf {E} _{p})=\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}(\mathbf {E} _{macro}+{\frac {\mathbf {P} }{3\epsilon _{0}}})$。

对于各向同性、线性、均匀的介电质，电极化率$\chi _{e}$定义为

$\mathbf {P} \ {\stackrel {def}{=}}\ \epsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} _{macro}$。

电极化率与极化性的关系为

${\frac {\chi _{e}}{\chi _{e}+3}}={\frac {1}{3\epsilon _{0}}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}$。

由于相对电容率$\epsilon _{r}$与电极化率的关系为

$\epsilon _{r}=1+\chi _{e}$。

所以，电容率与极化性的关系为

${\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}={\frac {1}{3\epsilon _{0}}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}$。

这方程式就是克劳修斯-莫索提方程式。

电介质的折射率$n$为

$n={\sqrt {\epsilon _{r}\mu _{r}}}\approx {\sqrt {\epsilon _{r}}}$；

其中，$\mu _{r}$是相对磁导率。

对于大多数介电质，$\mu _{r}=1$，所以，折射率近似为$n\approx {\sqrt {\epsilon _{r}}}$ 。将折射率带入克劳修斯-莫索提方程式，就可以给出洛伦兹-洛伦茨方程式：

${\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}={\frac {1}{3\epsilon _{0}}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}$。