在数学的群论中,一个群G的全形Hol(G)是一个特定的群,同时包含群G和其自同构群Aut(G)。群的全形可用半直积或交换群来描述。
记群G的自同构群为Aut(G),则G的全形Hol(G)是
其中的外半直积是对于Aut(G)在G上的自然作用,因此全形上的运算如下:令 ( g , α ) , ( h , β ) {\displaystyle (g,\alpha ),(h,\beta )} 为Hol(G)的元,其中g, h是G的元, α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } 是G的自同构,则
群G以左乘和右乘作用在自身的元素上,定义出两个从G到G上的对称群Sym(G)的群同态。左乘对应的群同态为
右乘对应的群同态为
这两个群同态称为G的左及右正规表示,并且都是单射(凯莱定理)。换言之,G同构于 λ ( G ) {\displaystyle \lambda (G)} 和 ρ ( G ) {\displaystyle \rho (G)} 。G的全形 Hol ( G ) {\displaystyle \operatorname {Hol} (G)} 是 λ ( G ) {\displaystyle \lambda (G)} 在 Sym ( G ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (G)} 中的正规化子。