布朗-蒂奇马什定理

在解析数论中，布朗-蒂奇马什定理（Brun–Titchmarsh theorem）是一个以维戈·布朗和爱德华·查尔斯·蒂奇马什的名字命名的定理。该定理指的是算数数列中的质数个数的上界。

陈述

设$\pi (x;q,a)$为计算在模q的状况下，与a同余且不大于x的质数p个数的函数，则对于任意的x与q而言，有

$\pi (x;q,a)\leq {2x \over \varphi (q)\log(x/q)}$

历史

该定理由蒙哥马利与鲍勃·沃恩以筛法证明；而较早但稍弱、多乘以一个$1+o(1)$因子的结果则由布朗和蒂奇马什证明。

改进

在q相对较小，例如$q\leq x^{9/20}$的情况下，可得到更好的上界：

$\pi (x;q,a)\leq {(2+o(1))x \over \varphi (q)\log(x/q^{3/8})}$

该结果由本桥洋一在1973年发现，他利用了自己发现的塞尔伯格筛法误差项中的双线性结构证明了这点。之后由于亨里克·伊万尼克将该结果延伸到组合筛上之故，这利用筛法误差项结构的想法发展成了解析数论的其中一个主要方法。

与狄利克雷定理的比较

与之相对地，狄利克雷定理给出了非病态的结果，而其结果可表述如次：

$\pi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)\log(x)}}\left({1+O\left({\frac {1}{\log x}}\right)}\right)$

然而她的结果只对更受限的、$q<(\log {x})^{c}$（其中c是一个常数）的范围成立，而这即是西格尔-瓦尔菲什定理。

参考资料

• Motohashi, Yoichi, Sieve Methods and Prime Number Theory, Tata IFR and Springer-Verlag, 1983, ISBN 3-540-12281-8 
• Hooley, Christopher, Applications of sieve methods to the theory of numbers, Cambridge University Press: 10, 1976, ISBN 0-521-20915-3 
• Mikawa, H., Brun-Titchmarsh theorem, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Montgomery, H.L.; Vaughan, R.C., The large sieve, Mathematika, 1973, 20 (2): 119–134, doi:10.1112/s0025579300004708, hdl:2027.42/152543  .