斯通-切赫紧化

数学的点集拓扑学中，斯通-切赫紧化（Stone–Čech compactification）是构造出从拓扑空间X到紧致豪斯多夫空间βX的泛映射的技巧。拓扑空间X的斯通－切赫紧化βX是由X“生成”的最大的紧致豪斯多夫空间，意即任何从X到紧致豪斯多夫空间的映射，都可以经由βX分解。若X是吉洪诺夫空间，则从X到其在βX中的像的映射是同胚，因此可以想像X是在βX中的稠密子空间。对一般拓扑空间，从X到βX的映射未必是单射。

证明任何拓扑空间都有斯通－切赫紧化，需用到选择公理的一个形式。即使X是颇简单的空间，βX通常也是很难以明白具体地描述。譬如βN \ N非空的各种证明（N是自然数集合），都不会直接描述出βN \ N内的任何一点。

泛性质和函子性

βX是一个紧致豪斯多夫空间，连同一个从X到βX的连续映射。βX有以下的泛性质：任何连续映射f: X → K，其中K是紧致豪斯多夫空间，可以唯一地提升到连续映射 βf: βX → K.

βX的这个泛性质，加上βX是包含X的紧致豪斯多夫空间，就完全地刻画了βX，同胚的差别不计(up to homeomorphism)。

有些作者会加上假设X是吉洪诺夫空间（或甚至是局部紧豪斯多夫空间），原因为：

从X到在βX中的像的映射是同胚，当且仅当X是吉洪诺夫的。
从X到在βX中的像的映射是同胚到一个开子空间，当且仅当X是局部紧豪斯多夫的。

更一般的拓扑空间X上，都可以斯通－切赫紧化，但映射X → βX未必是同胚到X的像（有时甚至不是单射）。

上述的扩张性使β成为一个从Top（拓扑空间的范畴）到CHaus（紧豪斯多夫空间的范畴）的函子，设U是从 CHaus到Top的包含函子，那么从βX到K的映射（K在CHaus内）一一对应到从X到UK的映射（将映射限制到X，并使用βX的泛性质），即是

Hom(βX, K) = Hom(X, UK)

故β是U的左伴随函子。因此CHaus是Top的反射子范畴，反射函子为β。

构造

用单位区间构造

构造βX的一个方法是考虑映射

X\to [0,1]^{C}

x\mapsto (f(x))_{f\in C}

其中C是所有从X到[0, 1]的连续映射的集合。若赋予[0, 1]^C积拓扑，那么这映射是连续的。因为[0,1]是紧致集，由吉洪诺夫定理（与选择公理等价）可知[0, 1]^C也是紧致集。因此X在[0, 1]^C中的像的闭包是X的一个紧化。

这个紧化就是斯通－切赫紧化。要证明这个结果，只要检验这个紧化符合应有的泛性质。首先检验K = [0, 1]，映射f: X → [0, 1]的扩张，就是从[0, 1]^C到f座标上的投射。对一般的K，注意到K是完全正则空间，所以能嵌入到一个立体（即形为[0, 1]^I的积空间）中。现在用前述的结果扩张每个座标函数，然后取这些扩张的积。

用超滤子构造

若X是离散空间，可以构造βX为X的所有超滤子的集合，并赋予一个拓扑，称为斯通拓扑。X的各元素对应到各主要超滤子。

要验证泛性质，设f: X → K，K是紧致豪斯多夫空间，F是X上的一个超滤子。那么可得在K上的超滤子f(F)。因为K是紧致的，这个超滤子存在极限，又因为K是豪斯多夫的，故这个极限唯一，设为x。定义βf(F) = x。可以证明这是f的连续扩张。

参考

Čech, E., On bicompact spaces, Ann. Math. (The Annals of Mathematics, Vol. 38, No. 4), 1937, 38 (4): 823–844, JSTOR 1968839, doi:10.2307/1968839
Hindman, Neil; Strauss, Dona, Algebra in the Stone-Cech compactification. Theory and applications, de Gruyter Expositions in Mathematics 27, Berlin: Walter de Gruyter & Co.: xiv+485 pp., 1998, ISBN 3-11-015420-X, MR 1642231
Koshevnikova, I.G., S/s090340, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Stone, M.H., Applications of the theory of Boolean rings to general topology, Trans. Amer. Soc. (Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 41, No. 3), 1937, 41 (3): 375–481, JSTOR 1989788, doi:10.2307/1989788
Tychonoff, A., Über die topologische Erweiterung von Räumen, Mathematische Annalen (Springer Berlin / Heidelberg), 1930, 102: 544–561, ISSN 0025-5831, doi:10.1007/BF01782364
Shields, Allen, Years ago, The Mathematical Intelligencer, 1987, 9 (2): 61–63, doi:10.1007/BF03025901

外部链接

Stone-Čech compactification at PlanetMath.
Dror Bar-Natan, Ultrafilters, Compactness, and the Stone–Čech compactification （页面存档备份，存于互联网档案馆）