格罗莫夫双曲空间

数学上,设为一常数,则一个度量空间格罗莫夫(Gromov)δ-双曲空间,简称δ-双曲空间,如果中任意四点都符合不等式

其中对基点格罗莫夫积。若δ的实际数值不重要时,也可称作格罗莫夫双曲空间双曲空间。以上是米哈伊尔·格罗莫夫的定义,因为不须用到测地线,故可以用于一般的度量空间。

一个测地度量空间是格罗莫夫双曲的,当且仅当存在常数,使得每个测地三角形(三边都是测地线段的三角形)都是δ-瘦,即是三角形每一边上任何一点,距离另外两边其中一边少于δ。

以上的δ-瘦条件由以利亚·里普斯(Eliyahu Rips)给出,此外又有数种等价条件[1]。格罗莫夫定义中的δ未必等于里普斯条件的δ,但如果一个测地度量空间符合格罗莫夫定义中的δ-双曲性,则它符合里普斯4δ-瘦条件;反之若这空间符合里普斯δ-瘦条件,则符合格罗莫夫定义的8δ-双曲性。[1]

例子

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  • 是0-双曲空间,因为其上任何三角形都是退化的。
  • 有限直径的度量空间都是双曲空间。
  •  为测地度量空间, 是一个拟等距映射,如果 是双曲空间,那么 也是双曲空间。
  •  是负曲率紧致黎曼流形,那么其万有覆叠空间 是双曲空间,而 基本群 赋予字度量后可以拟等距映射到 施瓦茨-米尔诺引理),所以也是双曲空间。 因此是双曲群

理想边界

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X是一个格罗莫夫双曲空间, X中一个序列。如果

 时, 

 收敛于无穷。其中pX中某个定点,  对基点p格罗莫夫积

对收敛于无穷的序列 定义一个等价关系如下: ,如果

 时, 

由这些等价类构成的集合称为X理想边界 

注意上述条件都不依赖于基点p,因为格罗莫夫积对p是1-利普希茨连续的,即是若将p换作另一点q,则任两点的格罗莫夫积以q为基点时的值,与以p为基点时的值,相差不超过pq的距离。

若序列 在等价类 内,那么称 。这样就在 上定义了一个拓扑,使得X 内是稠密的。

等价定义

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设格罗莫夫双曲空间X测地常态的,其理想边界有等价定义如下:

  1. 一个映射 称为拟射线,如果f是一个拟等距嵌入。对X中的拟射线定义等价关系:两条拟射线等价,若二者的豪斯多夫距离是有限的。那么由拟射线的等价类构成的集合是X的理想边界。
  2. 选取X中任何一点w为基点。对所有从w点出发的测地射线,定义如上一项所述的等价关系。则由这些测地射线的等价类构成的集合是X的理想边界。


参见

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参考

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  1. ^ 1.0 1.1 É. Ghys and P. de la Harpe (éd.), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990.