欧拉长方体

欧拉长方体指边长和面对角线都是整数的长方体。

这即是求解丢番图方程：

$a^{2}+b^{2}=d^{2}$

$b^{2}+c^{2}=e^{2}$

$c^{2}+a^{2}=f^{2}$

最小的欧拉长方体的边长为240, 117, 44，面对角线为267, 125, 244，是Paul Halcke在1719年发现的。

例子

边长 63000 以内的 (a,b,c) 满足 a<b<c, gcd(a,b,c)=1

第一组：(44,117,240) -- (125,267,244)

第二组：(85, 132, 720) — (157, 725, 732);

第三组：(140, 480, 693) — (500, 707, 843);

第四组：(160, 231, 792) — (281, 808, 825);

第五组：(187, 1020, 1584) — (1037, 1595, 1884);

第六组：(195, 748, 6336) — (773, 6339, 6380);

第七组：(240, 252, 275) — (348, 365, 373);

第八组：(429, 880, 2340) — (979, 2379, 2500);

第九组：(495, 4888, 8160) — (4913, 8175, 9512);

第十组：(528, 5796, 6325) — (5820, 6347, 8579) ;

第十一组: (780, 2475, 2992) — (2595, 3092, 3883) ;

第十二组：(828, 2035, 3120)-- (2197, 3228, 3725)

第十三组：(1008, 1100, 1155)-- (1492, 1595, 1533)

第十四组：(10296, 11753, 16800)--(15625, 19704, 20503)

第十五组：(15939, 18460, 48720)--(24389, 51261, 52100)

第十六组：(27755, 42372, 62160)--(50653, 68075, 75228)

第十七组：(42471, 54280, 59040)--(68921, 72729, 80200)

其中第十四组：(10296,11753,16800) —(15625,19704,20503)

之体对角线长为22942.9864...最接近正整数

完美长方体

主条目：完美长方体

完美长方体，又称“完美盒”，是体对角线也是整数的欧拉长方体。求完美长方体的边长，即在上面三条丢番图方程再加上一条：$a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2}$。截至2015年5月，还没有找到任何完美盒。经由电脑搜寻显示，若存在完美长方体，其中一个边长需大于3·10¹²，且最小边长需大于10¹⁰。现时只找到一些接近完美盒，例如其中一边是无理数，其他边和对角线均为整数的例子。

但在2009年发现了数十个完美平行六面体的例子。

另见

• 黄金矩形

外部链接

• Weisstein, Eric W. "Euler Brick." （页面存档备份，存于互联网档案馆） From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
• Durango Bill The “Integer Brick” Problem （页面存档备份，存于互联网档案馆） (The Euler Brick Problem)
• Fred Curtis Primitive Euler Bricks （页面存档备份，存于互联网档案馆）