求和符号

〈「求和公式」項目〉

求和符号(英语:summation;符号:,读作:sigma),是欧拉于1755年首先使用的一个数学符号。这个符号是源自于希腊文σογμαρω(增加)的字头,Σ正是σ的大写。

求和指的是将给定的数值相加的过程,又称为加总。求和符号常用来简化有多个数值相加的数学表达式

假设有个数值,则这个数值的总和可表示为

用等式来呈现的话就是


举例来说,若有4个数值:,则这4个数值的总和为:

在数学中,求和是任何类型数字的序列相加,称为加数或加数;结果是它们的总和或总数。除了数字之外,也可以对其他类型的值求和:函数、向量、矩阵、多项式,以及通常在其上定义了表示为“+”的运算的任何类型的数学对象的元素。

无穷序列的总和称为级数,它们涉及极限的概念,本条目不予考虑。

显式序列的总和表示为一连串的加法。例如,[1, 2, 4, 2] 的和记为 1 + 2 + 4 + 2,得到 9,即 1 + 2 + 4 + 2 = 9。因为加法是结合可交换的,所以有不需要括号,无论加法的顺序如何,结果都是一样的。只有一个元素的序列的总和会产生这个元素本身。按照惯例,空序列(没有元素的序列)的总和结果为 0。

求和方法

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  1. 裂项法:利用 求出 
  2. 错位相减法:透过两个求和式的相减化简求和数列的求和方法。
  3. 倒序求和:对于有对称中心的函数 首尾求和[1][2]
  4. 逐项求导:可从 推导出 [3]
  5. 阿贝尔变换
 

含多项式求和公式

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以下设p为多项式, 

 

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 是对一个多项式求和,自然数方幂和、等幂求和、等差数列求和都属于对多项式求和。

  • 帕斯卡矩阵形式
     [4]
  • 差分变换形式
     
     [5]
 的例子
  •  
  • 三角形数 
  • 等差级数 
  • 连续正整数平方和: 
  • 连续正整数立方和: 
  • 正方形数 

 

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 为多项式, 易求高阶导数时, 有封闭型和式

 [6]

 

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  •  
    有限和 有封闭型和式
    当p为常数时,是对等比数列求和,当p为一次多项式时,是对差比数列求和。
     
     [4]
 的例子
  • 等比级数 ,若 ,则 
  • 差比级数 

 

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  •  
     [7]

 

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 ,其中 调和数调和级数

组合数求和公式

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一阶求和公式

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  •  
  •  
  •  [参 1]
  •  [参 2]
 
  •  
 
 
 

二阶求和公式

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  •  
  •  [参 3]
 
 
 
  •  

范德蒙恒等式与超几何函数有关系:

 

三阶求和公式

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  •  

范德蒙恒等式与广义超几何函数有关系:

 

定积分判断总和界限

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 在[a,b]单调递增时:

 

 在[a,b]单调递减时:

 [8]

求和函数

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 为例:

syms k n;symsum(k^9,k,1,n)
 In[1]:= Sum[i^9, {i, 1, n}]
 Out[1]:=  

参考资料

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  1. ^ 赵丽棉 黄基廷. n次单位根在代数问题中的应用. 高等数学研究. 2010, (4) [2018-06-24]. (原始内容存档于2019-05-02). 
  2. ^ 徐更生 何廷模. 斐波那契数列与组合数的一个关系及推广. 中学教研. 1991, (10) [2018-06-24]. (原始内容存档于2019-05-02). 
  3. ^ 伍启期. 组合数列求和. 佛山科学技术学院学报(自然科学版). 1996, (4) [2018-06-24]. (原始内容存档于2019-05-02). 
  1. ^ 马志钢. 倒序求和几例. 中学生数学. 2006, (5) [2014-07-16]. (原始内容存档于2019-05-09). 
  2. ^ 郭子伟. 高中基础数列知识微型整理. 数学空间. 2011, (1): 第11页 [2014-07-16]. (原始内容存档于2016-03-04). 
  3. ^ 吴炜超. 数列{n^m.k^n}的求和方法. 数学空间. 2011, (7): 第38–39页. 
  4. ^ 4.0 4.1 黄嘉威. 方幂和及其推广和式. 数学学习与研究. 2016, (7) [2016-05-18]. (原始内容存档于2020-01-15). 
  5. ^ Károly Jordán. Calculus of Finite Differences. 
  6. ^ Murray Spiegel. Schaum's Outline of Calculus of Finite Differences and Difference Equations. 
  7. ^ 刘治国. 一类指数型幂级数的求和. 抚州师专学报. 1994, (01): 第65–66页 [2017-07-23]. (原始内容存档于2019-05-08). 
  8. ^ 吴炜超. 数列不等式的定积分解法. 数学空间. 2011, (5): 第23–26页 [2014-04-10]. (原始内容存档于2015-09-24).