洛伦茨吸引子

洛伦茨吸引子（Lorenz attractor）是洛伦茨振子（Lorenz oscillator）的长期行为对应的分形结构，以爱德华·诺顿·洛伦茨（Edward Norton Lorenz）的姓氏命名。洛伦茨振子是能产生混沌流的三维动力系统，又称作洛伦茨系统（Lorenz system），其一组混沌解称作洛伦茨吸引子，以其双纽线形状而著称。映射展示出动力系统（三维系统的三个变量）的状态是如何以一种复杂且不重复的模式，随时间的推移而演变的。

洛伦茨系统中的吸引子轨迹

简述

洛伦茨方程的一条轨迹被描绘成金属线，以展现方向以及三维结构

洛伦茨吸引子及其导出的方程组是由爱德华·诺顿·洛伦茨于1963年发表，最初是发表在《大气科学杂志》（Journal of the Atmospheric Sciences）杂志的论文《Deterministic Nonperiodic Flow》中提出的，是由大气方程中出现的对流卷方程简化得到的。

这一洛伦茨模型不只对非线性数学有重要性，对于气候和天气预报来说也有着重要的含义。行星和恒星大气可能会表现出多种不同的准周期状态，这些准周期状态虽然是完全确定的，但却容易发生突变，看起来似乎是随机变化的，而模型对此现象有明确的表述。

从技术角度看来，洛伦茨振子具有非线性、三维性和确定性。2001年，沃里克·塔克尔（Warwick Tucker）证明出在一组确定的参数下，系统会表现出混沌行为，显示出人们今天所知的奇异吸引子。这样的奇异吸引子是豪斯多夫维数在2与3之间的分形。彼得·格拉斯伯格（Peter Grassberger）已于1983年估算出豪斯多夫维数为2.06 ± 0.01，而关联维数（英语：correlation dimension）为2.05 ± 0.01。

此系统也会出现在单模镭射^[1]和发电机^[2]的简化模型中。除此之外，闭环对流、水轮转动等物理模型也有此系统的应用。

洛伦茨方程

标出刻度的轨迹

洛伦茨方程是基于纳维－斯托克斯方程、连续性方程和热传导方程简化得出，最初的形式为：

{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\left({\vec {v}}\nabla \right){\vec {v}}=-{\frac {\nabla p}{\rho }}+\nu \nabla ^{2}{\vec {v}}+{\vec {g}}

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho {\vec {v}}\right)=0

{\frac {\partial T}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(T{\vec {v}}\right)=\chi \nabla ^{2}T

\rho =\rho _{0}\left(1-\gamma \left(T-T_{0}\right)\right)

${\vec {v}}$ 是流速， $T$ 是流体温度， $T_{0}$ 是上限温度（也可以写成 $T_{0}+\Delta T$ ）， $\rho$ 是密度， $p$ 是压强， ${\vec {g}}$ 是重力， $\gamma$ 、 $\chi$ 、 $\nu$ 依次是热膨胀系数、热扩散率和动黏滞系数。

简化后的形式称为洛伦茨方程，是决定洛伦茨振子状态的方程为一组常微分方程：

{\frac {dx}{dt}}=\sigma (y-x)

{\frac {dy}{dt}}=x(\rho -z)-y

{\frac {dz}{dt}}=xy-\beta z

含时间参数的形式：

{\begin{cases}{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=\sigma {\bigl (}y(t)-x(t){\bigr )}\\{\frac {\mathrm {d} y(t)}{\mathrm {d} t}}=\rho \,x(t)-y(t)-x(t)\,z(t)\\{\frac {\mathrm {d} z(t)}{\mathrm {d} t}}=x(t)\,y(t)-\beta \,z(t)\end{cases}}

$\sigma$ 称为普兰特尔数 ， $\rho$ 称为瑞利数。所有的 $\sigma$ ， $\rho$ ， $\beta$ > 0，但通常 $\sigma$ = 10， $\beta$ = 8/3， $\rho$ 不定。若 $\rho <1$ ，则吸引子为原点，没有任何其他稳定点。1≤ρ<13.927时，螺线轨迹接近两点（这相当于存在阻尼振子），两点的位置由下列式子决定： $~x=\pm {\sqrt {b(\rho -1)}}$ 、 $~y=\pm {\sqrt {b(\rho -1)}}$ 、 $~z=\rho -1$ 。系统在 $\rho$ = 28时表现出混沌特性，但 $\rho$ 为其他值时会显示出具纽结的周期轨道。例如，当 $\rho =99.96$ 时，图像变为一个T(3,2)环面纽结。

初始条件的敏感依赖性

时间t=1 （放大） 时间t=2 （放大） 时间t=3 （放大）

这三幅图是在ρ=28，σ = 10，β = 8/3的条件下生成的，展示出洛伦茨吸引子中的两条轨迹（蓝色、黄色各一）的三维演变的三个时段，这两条轨迹的初始点只在x坐标上相差10^-5。开始时，两条轨迹似乎是重合的（蓝色轨迹被黄色遮盖，因此只能看到黄色轨迹），但一段时间后，分离就变得明显了。

洛伦茨吸引子的Java动画展示了振子状态连续不断的演变 Portuguese Web Archive的存档，存档日期2008-03-11

瑞利数

不同ρ值时的洛伦茨吸引子

ρ=14, σ=10, β=8/3 （放大） ρ=13, σ=10, β=8/3 （放大）

ρ=15, σ=10, β=8/3 （放大） ρ=28, σ=10, β=8/3 （放大）

ρ值较小时，系统是稳定的，并能演变为两个定点吸引子中的一个；当ρ大于24.74时，定点变成了排斥子，会以非常复杂的方式排斥轨迹，演变时自身从不交叉。

显示不同ρ值时振子状态演变的Java动画 Portuguese Web Archive的存档，存档日期2008-03-11

源代码

GNU Octave

下面是GNU Octave模拟洛伦茨吸引子的源代码：

## Lorenz Attractor equations solved by ODE Solve
## x' = sigma*(y-x)
## y' = x*(rho - z) - y
## z' = x*y - beta*z
function dx = lorenzatt(X)
    rho = 28; sigma = 10; beta = 8/3;
    dx = zeros(3,1);
    dx(1) = sigma*(X(2) - X(1));
    dx(2) = X(1)*(rho - X(3)) - X(2);
    dx(3) = X(1)*X(2) - beta*X(3);
    return
end

## Using LSODE to solve the ODE system.
clear all
close all
lsode_options("absolute tolerance",1e-3)
lsode_options("relative tolerance",1e-4)
t = linspace(0,25,1e3); X0 = [0,1,1.05];
[X,T,MSG]=lsode(@lorenzatt,X0,t);
T
MSG
plot3(X(:,1),X(:,2),X(:,3))
view(45,45)

Borland C

#include <graphics.h>
#include <conio.h>
void main()
{
    double x = 3.051522, y = 1.582542, z = 15.62388, x1, y1, z1;
    double dt = 0.0001;
    int a = 5, b = 15, c = 1;
    int gd=DETECT, gm;
    initgraph(&gd, &gm, "C:\\BORLANDC\\BGI");
    do {
	x1 = x + a*(-x+y)*dt;
	y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;
	z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;
	x = x1;	y = y1;	z = z1;
	putpixel((int)(19.3*(y - x*0.292893) + 320),
		 (int)(-11*(z + x*0.292893) + 392), 9);
    } while (!kbhit());
    closegraph();
}

Borland Pascal

Program Lorenz;
Uses CRT, Graph;
Const
  x: Real = 3.051522;
  y: Real = 1.582542;
  z: Real = 15.62388;
  dt = 0.0001;
  a = 5;
  b = 15;
  c = 1;
Var
  gd, gm: Integer;
  x1, y1, z1: Real;
Begin
  gd:=Detect;
  InitGraph(gd, gm, 'c:\bp\bgi');
  While not KeyPressed Do Begin
      x1 := x + a*(-x+y)*dt;
      y1 := y + (b*x-y-z*x)*dt;
      z1 := z + (-c*z+x*y)*dt;
      x := x1;
      y := y1;
      z := z1;
      PutPixel(Round(19.3*(y - x*0.292893) + 320),
               Round(-11*(z + x*0.292893) + 392), 9);
    End;
    CloseGraph;
    ReadKey;
End.

Fortran

program LorenzSystem

real,parameter::sigma=10
real,parameter::r=28
real,parameter::b=2.666666
real,parameter::dt=.01
integer,parameter::n=1000

real x,y,z

open(1,file='result.txt',form='formatted',status='replace',action='write')

x=10.;y=10.;z=10.

do i=1,n,1
    x1=x+sigma*(y-x)*dt
    y1=y+(r*x-x*z-y)*dt
    z1=z+(x*y-b*z)*dt
    x=x1
    y=y1
    z=z1
    write(1,*)x,y,z
enddo

print *,'Done'

 close(1)

end program LorenzSystem

QBASIC/FreeBASIC("fbc -lang qb")

DIM x, y, z, dt, x1, y1, z1 AS SINGLE
DIM a, b, c AS INTEGER
x = 3.051522: y = 1.582542: z = 15.62388: dt = 0.0001
a = 5: b = 15: c = 1
SCREEN 12
PRINT "Press Esc to quit"
WHILE INKEY$ <> CHR$(27)
    x1 = x + a * (-x + y) * dt
    y1 = y + (b * x - y - z * x) * dt
    z1 = z + (-c * z + x * y) * dt
    x = x1
    y = y1
    z = z1
    PSET ((19.3 * (y - x * .292893) + 300), (-11 * (z + x * .292893) + 360)), 9
WEND
END

参见

参考文献

^ （英文）Haken, H. Analogy between higher instabilities in fluids and lasers. Physics Letters A. 1975, 53 (1): 77–78. doi:10.1016/0375-9601(75)90353-9.
^ （英文）Knobloch, Edgar. Chaos in the segmented disc dynamo. Physics Letters A. 1981, 82 (9): 439–440. doi:10.1016/0375-9601(81)90274-7.

（英文）Jonas Bergman, Knots in the Lorentz Equation^{[永久失效链接]}, 学士毕业论文, Uppsala University 2004.
（英文）Frøyland, J., Alfsen, K. H. Lyapunov-exponent spectra for the Lorenz model. Phys. Rev. A. 1984, 29: 2928–2931. doi:10.1103/PhysRevA.29.2928.
（英文）P. Grassberger and I. Procaccia. Measuring the strangeness of strange attractors. Physica D. 1983, 9: 189–208 [2022-01-08]. doi:10.1016/0167-2789(83)90298-1. （原始内容存档于2016-02-17）.
（英文）Lorenz, E. N. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci. 1963, 20: 130–141. doi:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2.
（英文）Strogatz, Steven H. Nonlinear Systems and Chaos. Perseus publishing. 1994.
（英文）Tucker, W. A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem. Found. Comp. Math. 2002, 2: 53–117 [2010-02-26]. （原始内容存档于2019-12-28）.

外部链接

（英文）埃里克·韦斯坦因. 洛伦茨吸引子. MathWorld.
（英文）洛伦茨吸引子（页面存档备份，存于互联网档案馆），作者为Wolfram Demonstrations Project的Rob Morris
（英文）洛伦茨吸引子，planetmath.org
（英文）用于绘出洛伦茨吸引子或处理类似情况的源代码（页面存档备份，存于互联网档案馆），使用ANSI C及gnuplot实现
（英文）《同步混沌与私人通信》，由MIT林肯实验室的Steven Strogatz与Kevin Cuomo讲解电子电路中洛伦茨吸引子的实现
（英文）洛伦茨吸引子交互式动画（页面存档备份，存于互联网档案馆）（需Adobe Shockwave插件）
（英文）Levitated.net：计算艺术与设计（页面存档备份，存于互联网档案馆）
（英文）3D Attractors：三维方式显示和研究洛伦茨吸引子Mac程序
（英文）3D VRML Lorenz attractor（需VRML浏览器插件）
（英文）J语言实现洛伦茨吸引子演示的短文（页面存档备份，存于互联网档案馆） - 见J语言
（英文）非线性模拟的Java小程序（页面存档备份，存于互联网档案馆）（选择预设“Lorenz attractor”），作者Viktor Bachraty，编写语言Jython
（英文）模拟电子技术中洛伦茨吸引子的实现
（简体中文）混沌蝴蝶——洛伦兹吸引子（页面存档备份，存于互联网档案馆）

[1] （英文）Haken, H. Analogy between higher instabilities in fluids and lasers. Physics Letters A. 1975, 53 (1): 77–78. doi:10.1016/0375-9601(75)90353-9.

[2] （英文）Knobloch, Edgar. Chaos in the segmented disc dynamo. Physics Letters A. 1981, 82 (9): 439–440. doi:10.1016/0375-9601(81)90274-7.

[1]

[2]

初始条件的敏感依赖性
时间t=1 （放大）	时间t=2 （放大）	时间t=3 （放大）

这三幅图是在ρ=28，σ = 10，β = 8/3的条件下生成的，展示出洛伦茨吸引子中的两条轨迹（蓝色、黄色各一）的三维演变的三个时段，这两条轨迹的初始点只在x坐标上相差10^-5。开始时，两条轨迹似乎是重合的（蓝色轨迹被黄色遮盖，因此只能看到黄色轨迹），但一段时间后，分离就变得明显了。
洛伦茨吸引子的Java动画展示了振子状态连续不断的演变 Portuguese Web Archive的存档，存档日期2008-03-11

不同ρ值时的洛伦茨吸引子

ρ=14, σ=10, β=8/3 （放大）	ρ=13, σ=10, β=8/3 （放大）

ρ=15, σ=10, β=8/3 （放大）	ρ=28, σ=10, β=8/3 （放大）
ρ值较小时，系统是稳定的，并能演变为两个定点吸引子中的一个；当ρ大于24.74时，定点变成了排斥子，会以非常复杂的方式排斥轨迹，演变时自身从不交叉。
显示不同ρ值时振子状态演变的Java动画 Portuguese Web Archive的存档，存档日期2008-03-11