非线性系统

(重定向自非線性

物理科学中,如果描述某个系统的方程其输入(自变数)与输出(应变数)不成正比,则称为非线性系统。由于自然界中大部分的系统本质上都是非线性的,因此许多工程师、物理学家、数学家和其他科学家对于非线性问题的研究都极感兴趣。非线性系统和线性系统最大的差别在于,非线性系统可能会导致混沌、不可预测,或是不直观的结果。

一般来说,非线性系统的行为可以用一组非线性联立方程来描述。非线性方程里含有由未知数构成的非线性函数;换句话说,一个非线性方程并不能写成其未知数的线性组合。非线性微分方程,则是指方程里含有未知函数及其导函数的乘幂不等于一的项。在判定一个方程是线性或非线性时,只需考虑未知数(或未知函数)的部分,不需要检查方程中是否有已知的非线性项。例如在微分方程中,若所有的未知函数、未知导函数皆为一次,即使出现由某个已知变数所构成的非线性函数,仍称它是线性微分方程。

由于非线性方程非常难解,因此常常需要以线性方程来近似一个非线性系统(线性近似)。这种近似对某范围内的输入值(自变数)是很准确的,但线性近似之后反而会无法解释许多有趣的现象,例如孤波混沌[1]奇点。这些奇特的现象,也常常让非线性系统的行为看起来违反直觉、不可预测,或甚至混沌。虽然“混沌的行为”和“随机的行为”感觉很相似,但两者绝对不能混为一谈;也就是说,一个混沌系统的行为绝对不是随机的。

举例来说,许多天气系统就是混沌的,微小的扰动即可导致整个系统产生各种不同的复杂结果。就目前的科技而言,这种天气的非线性特性即成了长期天气预报的绊脚石。

某些书的作者以非线性科学来代指非线性系统的研究,但也有人不以为然:

“在科学领域里使用‘非线性科学’这个词,就如同把动物学里大部分的研究对象称作‘非大象动物’一样可笑。”

定义

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在数学上,一个线性函数映射  拥有以下两个性质:

  • 叠加性: 
  • 齐次: 

α有理数的情况下,一个可叠加函数必定是齐次函数(在讨论线性与否时,齐次函数专指一次齐次函数);若  连续函数,则只要 α 是任意实数,就可以从叠加性推出齐次。然而在推广至任意复数 α 时,叠加性便再也无法导出齐次了。也就是说,在复数的世界里存在一种反线性映射,它满足叠加性,但却非齐次。叠加性和齐次这两个条件常会被合并在一起,称之为叠加原理

 

对于一个表示为

 

的方程,如果   是一个线性映射,则称为线性方程,反之则称为非线性方程。另外,如果  ,则称此方程齐次(齐次在函数和方程上的定义不同,齐次方程指方程内没有和 x 无关的项 C,即任何项皆和 x 有关)。

这里   的定义是很一般性的,  可为任何数字、矢量、函数等,而   可以指任意映射,例如有条件限制(给定初始值边界值)的微分或积分运算。如果   内含有对   的微分运算,此方程即是一个微分方程。

非线性代数方程

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代数方程又称为多项式方程。令某多项式等于零可得一个多项式方程,例如:

 

利用勘根法可以找出某个代数方程的解;但若是代数方程组则较为复杂,有时候甚至很难确定一个代数方程组是否具有复数解(见希尔伯特零点定理)。即使如此,对于一些具有有限个复数解的多项式方程组而言,我们已经找到解的方法,并且也已充分了解这种系统的行为[3]。代数方程组的研究是代数几何里重要的一环,而代数几何正是现代数学里的其中一个分枝。

非线性递回关系

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若将一个序列前项和后项之间的关系定义成某个非线性映射,则称为非线性递回关系,例如单峰映射侯世达数列英语Hofstadter sequence。由非线性递回关系构成的非线性离散模型,在实际应用中包括 NARMAX(Nonlinear AutoRegressive Moving Average with eXogenous inputs,外部输入非线性自回归移动平均)模型、非线性系统辨识和分析程序等。[4]这些方法可以用来分析时域频域和时空域(spatio-temporal domains)里复杂的非线性行为。

非线性微分方程

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若描述一个系统的微分方程是非线性的,则称此系统为非线性系统。含有非线性微分方程的问题,系统彼此间的表现差异极大,而每个问题的解法或是分析方法也都不一样。非线性微分方程的例子如流体力学的纳维-斯托克斯方程,以及生物学的洛特卡-沃尔泰拉方程

解非线性问题最大的难处在于找出未知的解:一般来说,我们无法用已知的解来拼凑出其他满足微分方程的未知解;而在线性的系统里,却可以利用一组线性独立的解,透过叠加原理组合出此系统的通解。例如满足狄利克雷边界条件的一维热传导问题,其解(时间的函数)可以写成许多不同频率之正弦函数的线性组合,而这也让它的解很弹性、具有很大的变化空间。通常我们可以找到非线性微分方程的特解,但由于此时叠加原理并不适用,故无法利用这些特解来建构出其他新的解。

常微分方程

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一阶常微分方程常常可以利用分离变数法来解,特别是自守方程

 

例如

 

这个方程的通解为  ,特解为 u = 0(即通解在 C 趋近于无限大时的极限)。此方程是非线性的,因为它可以被改写为

 

而等号左边并不是 u 的线性映射。若把此式的 u2 换成 u,则会变成线性方程(指数衰减)。

二阶和高阶非线性常微分方程组的解几乎无法表示成解析解,反而较常表为隐函数或非初等函数积分的形式。

分析常微分方程常用的方法包括:

偏微分方程

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研究非线性偏微分方程最常见也最基础的方法就是变数变换,变换以后的方程会较简单,甚至有可能会变成线性方程。有时候,变数变换后的方程可能会变成一个或两个以上的常微分方程(如同用分离变数法解偏微分方程),不管这些常微分方程可不可解,都能帮助我们了解这个系统的行为。

另一个流体力学和热力学里常用的方法(但数学性较低),是利用尺度分析来简化一个较一般性的方程,使它仅适用在某个特定的边界条件上。例如,在描述一个圆管内一维层流的暂态时,我们可以把非线性的纳维-斯托克斯方程简化成一个线性偏微分方程;这时候尺度分析提供了两个特定的边界条件:一维和层流。

其他分析非线性偏微分方程的方法还有特征线法,以及上述分析常微分方程时常用的方法。

单摆

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单摆(v 表示速度矢量;a 表示加速度矢量)

非线性问题的一个典型的例子,就是重力作用之下单摆的运动。单摆的运动可由以下的方程来描述(用拉格朗日力学可以证明[5]):

 

这是一个非线性且无量纲的方程,  是单摆和它静止位置所夹的角度,如动画所示。此方程的一个解法是将   视为积分因子,积分以后得

 

上述的解是隐解的形式,同时也包含了椭圆积分。这个解通常没有什么用,因为非初等函数积分(即使   仍然是非初等函数)把解的各种特性隐藏了起来,使我们不易看出单摆系统的行为。

另一个解法是把这个非线性方程作线性近似:利用泰勒展开式将非线性的 sine 函数线性化,并在某些特定的点附近讨论解的情形。例如,若在   的点附近作线性近似(又称小角度近似),  时, ,故原方程可以改写为

 

近似后的方程变成了简谐振荡,因此当单摆运动到底部附近时,可以对应到一个简谐振子。而若在  (即当单摆运动到圆弧的最高点时)附近作线性近似, ,故原方程可以改写为

 

这个方程的解含有双曲正弦函数,因此和小角度近似不同,这个近似是不稳定的,也就是说   会无限制地增加(但此近似方程的解也可能是有界的)。当我们把解对应回单摆系统后,就可以了解为什么单摆在圆弧的最高点时不能达到稳定平衡,也就是说,单摆在最高点时是不稳定的状态。

另一个有趣的线性近似是在   附近,此时  ,故原方程可以改写为

 

这个近似后的方程可以对应到自由落体。

若把以上线性近似的结果合在一起看,就能大致了解单摆的运动情形。利用其他解非线性微分方程的方法,可以进一步帮助我们找到更精确的相图,或是估算单摆的周期。

非线性表现(列举)

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  • 经典混沌(和量子混沌相对)—— 指系统里无法预测的行为。
  • 多稳态 —— 指系统在两个或多个互斥的状态之间切换。
  • 周期振荡 —— 指一个函数在任何周期上都不会固定重复其函数值(也称作混沌振荡)。
  • 振幅死亡英语Amplitude death —— 指系统内的某振荡因系统的自回馈或受其他系统影响而停止的现象。
  • 孤波 —— 指行进中能自我增强而不消散的孤立波。

非线性方程(列举)

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分析非线性系统

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参见

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参考资料

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  1. ^ Nonlinear Dynamics I: Chaos 互联网档案馆存档,存档日期2008-02-12. at MIT's OpenCourseWare页面存档备份,存于互联网档案馆
  2. ^ Campbell, David K. Nonlinear physics: Fresh breather. Nature. 25 November 2004, 432 (7016): 455–456 [2016-11-13]. ISSN 0028-0836. doi:10.1038/432455a. (原始内容存档于2011-10-11) (英语). 
  3. ^ Lazard, D. Thirty years of Polynomial System Solving, and now?. Journal of Symbolic Computation. 2009, 44 (3): 222–231. doi:10.1016/j.jsc.2008.03.004. 
  4. ^ Billings S.A. "Nonlinear System Identification: NARMAX Methods in the Time, Frequency, and Spatio-Temporal Domains". Wiley, 2013
  5. ^ David Tong: Lectures on Classical Dynamics. [2016-11-13]. (原始内容存档于2021-04-14). 

延伸阅读

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外部链接

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