无限阶无限边形镶嵌

在几何学中， 无限阶无限边形镶嵌是一种双曲面的正镶嵌。其施莱夫利符号为{∞,∞}， 代表其有着无限个无限边形围绕于其所有的无穷远点。

无限阶无限边形镶嵌

庞加莱圆盘模型
类别	双曲正镶嵌
对偶多面体	无限阶无限边形镶嵌（自身对偶）
识别
鲍尔斯缩写	azazat
数学表示法
考克斯特符号
施莱夫利符号	{∞,∞}
威佐夫符号	∞ | ∞ 2 ∞ ∞ | ∞
组成与布局
顶点图	∞∞
对称性
对称群	[∞,∞], (*∞∞2) [(∞,∞,∞)] ,(*∞∞∞)
特性
点可递、 边可递、 面可递
图像
无限阶无限边形镶嵌（自身对偶） （对偶多面体）

对称性

该镶嵌的对偶镶嵌代表*∞^∞对称性的基本域。

半正涂色

该镶嵌可以在[(∞,∞,∞)]对称性中以三种不同的位置进行交错涂色。

基本域	0	1	2
对称性 [(∞,∞,∞)]	t0{(∞,∞,∞)}	t1{(∞,∞,∞)}	t2{(∞,∞,∞)}

相关多面体与镶嵌

该镶嵌及其对偶镶嵌的复合图形能以正交的红线及蓝线区分。而其组合定义了*2∞2∞基本域的线。

{∞,∞} 或 = ∪

[∞,∞]
= =	= =	= =	= =	= =	=	=
{∞,∞}	t{∞,∞}	r{∞,∞}	2t{∞,∞}=t{∞,∞}	2r{∞,∞}={∞,∞}	rr{∞,∞}	tr{∞,∞}
对偶
V∞∞	V∞.∞.∞	V(∞.∞)2	V∞.∞.∞	V∞∞	V4.∞.4.∞	V4.4.∞
交错
[1+,∞,∞] (*∞∞2)	[∞+,∞] (∞*∞)	[∞,1+,∞] (*∞∞∞∞)	[∞,∞+] (∞*∞)	[∞,∞,1+] (*∞∞2)	[(∞,∞,2+)] (2*∞∞)	[∞,∞]+ (2∞∞)
h{∞,∞}	s{∞,∞}	hr{∞,∞}	s{∞,∞}	h2{∞,∞}	hrr{∞,∞}	sr{∞,∞}
交错对偶
V(∞.∞)∞	V(3.∞)3	V(∞.4)4	V(3.∞)3	V∞∞	V(4.∞.4)2	V3.3.∞.3.∞

[(∞,∞,∞)]
(∞,∞,∞) h{∞,∞}	r(∞,∞,∞) h2{∞,∞}	(∞,∞,∞) h{∞,∞}	r(∞,∞,∞) h2{∞,∞}	(∞,∞,∞) h{∞,∞}	r(∞,∞,∞) r{∞,∞}	t(∞,∞,∞) t{∞,∞}
对偶
V∞∞	V∞.∞.∞.∞	V∞∞	V∞.∞.∞.∞	V∞∞	V∞.∞.∞.∞	V∞.∞.∞
交错
[(1+,∞,∞,∞)] (*∞∞∞∞)	[∞+,∞,∞)] (∞*∞)	[∞,1+,∞,∞)] (*∞∞∞∞)	[∞,∞+,∞)] (∞*∞)	[(∞,∞,∞,1+)] (*∞∞∞∞)	[(∞,∞,∞+)] (∞*∞)	[∞,∞,∞)]+ (∞∞∞)
交错对偶
V(∞.∞)∞	V(∞.4)4	V(∞.∞)∞	V(∞.4)4	V(∞.∞)∞	V(∞.4)4	V3.∞.3.∞.3.∞

更高阶数/边数

即使无限阶无限边形已经达到双曲镶嵌的极限了，但仍可使用虚数来表示更高的边数以及阶数。

参见

• 无限边形

参考资料

• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
• Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678. 

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Hyperbolic tiling. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Poincaré hyperbolic disk. MathWorld. 
• Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch （页面存档备份，存于互联网档案馆）