线面交点

在解析几何中, 一条直线与一个平面的交点可能是空集、一个点或一条直线。在计算机图形学、运动规划和碰撞检测中，经常需要分析相交类型，以及计算出点坐标或线的方程。

线面交点的三种情况：
1. 没有交点；
2. 有且只有一个交点；
3. 有无数个交点。

代数形式

空间中一个平面可以表示为点 $\mathbf {p}$ 的集合

$(\mathbf {p} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0$

其中 $\mathbf {n}$ 是该平面的法线，$\mathbf {p_{0}}$是平面上任意一点。（$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$表示向量 $\mathbf {a}$ 和 $\mathbf {b}$ 的数量积）

而直线可表示为

$\mathbf {p} =d\mathbf {l} +\mathbf {l_{0}} \quad d\in \mathbb {R}$

其中 $\mathbf {l}$是该直线的方向向量，$\mathbf {l_{0}}$是直线上任意一点，$d$是实数范围内的标量。将直线方程代入平面方程得

$(d\mathbf {l} +\mathbf {l_{0}} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0$

展开得

$d\mathbf {l} \cdot \mathbf {n} +(\mathbf {l_{0}} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0$

解得 $d$

$d={(\mathbf {p_{0}} -\mathbf {l_{0}} )\cdot \mathbf {n} \over \mathbf {l} \cdot \mathbf {n} }.$

若 $\mathbf {l} \cdot \mathbf {n} =0$，则直线与平面平行。此时，如果($\mathbf {p_{0}} -\mathbf {l_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0$，则该直线在平面内，即直线上所有的点都是交点。否则，直线与平面没有交点。

若 $\mathbf {l} \cdot \mathbf {n} \neq 0$，则直线与平面有且只有一个交点。解得 $d$，则交点的坐标为

$d\mathbf {l} +\mathbf {l_{0}}$.

参数形式

直线与平面的交点

空间中一条直线可以用一个点和一个给定的方向来描述。则一条直线可以表示为如下点的集合

$\mathbf {l} _{a}+(\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a})t,\quad t\in \mathbb {R}$

其中 $\mathbf {l} _{a}=(x_{a},y_{a},z_{a})$ 和 $\mathbf {l} _{b}=(x_{b},y_{b},z_{b})$ 是直线上两个不同的点。

相似地，一个平面可以表示为如下点的集合

$\mathbf {p} _{0}+(\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0})u+(\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0})v,\quad u,v\in \mathbb {R}$

其中 $\mathbf {p} _{k}=(x_{k},y_{k},z_{k})$，$k=0,1,2$ 是平面上不共线的三个点。

直线和平面的交点可以表示为将直线上的点代入平面方程内，则参数方程如下：

$\mathbf {l} _{a}+(\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a})t=\mathbf {p} _{0}+(\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0})u+(\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0})v$

即

$\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}=(\mathbf {l} _{a}-\mathbf {l} _{b})t+(\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0})u+(\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0})v,$

用矩阵表示为

${\begin{bmatrix}x_{a}-x_{0}\\y_{a}-y_{0}\\z_{a}-z_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{a}-x_{b}&x_{1}-x_{0}&x_{2}-x_{0}\\y_{a}-y_{b}&y_{1}-y_{0}&y_{2}-y_{0}\\z_{a}-z_{b}&z_{1}-z_{0}&z_{2}-z_{0}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}$

可得点的坐标为

$\mathbf {l} _{a}+(\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a})t$

若直线与平面平行或在平面内，那么向量 $\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a}$，$\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0}$ 及 $\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0}$是线性独立的，且矩阵为奇异矩阵。

若满足 $t\in [0,1]$，则交点在直线上 $\mathbf {l} _{a}$ 与 $\mathbf {l} _{b}$ 之间。

若满足

$u,v\in [0,1],\;\;\;(u+v)\leq 1,$

则交点位于平面上 $\mathbf {p} _{0}$，$\mathbf {p} _{1}$ 及 $\mathbf {p} _{2}$所构成的三角形中。

该问题可用矩阵的形式表示解答：

${\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{a}-x_{b}&x_{1}-x_{0}&x_{2}-x_{0}\\y_{a}-y_{b}&y_{1}-y_{0}&y_{2}-y_{0}\\z_{a}-z_{b}&z_{1}-z_{0}&z_{2}-z_{0}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}x_{a}-x_{0}\\y_{a}-y_{0}\\z_{a}-z_{0}\end{bmatrix}}.$

应用

在计算机图形学中的光线追踪算法中，一个面可以被表示为几个平面的集合。一个面的图像可以用光线与每个面的交点表达。在基于视觉的三维重建中（计算机视觉的一个子场），深度通常是由“三角测量法”测算的。

外部链接

• Intersections of Lines, Segments and Planes (2D & 3D) from GeomAlgorithms.com （页面存档备份，存于互联网档案馆）