線面交點

在解析幾何中, 一條直線與一個平面的交點可能是空集、一個點或一條直線。在計算機圖形學、運動規劃和碰撞檢測中，經常需要分析相交類型，以及計算出點坐標或線的方程。

線面交點的三種情況：
1. 沒有交點；
2. 有且只有一個交點；
3. 有無數個交點。

代數形式

空間中一個平面可以表示為點 $\mathbf {p}$ 的集合

$(\mathbf {p} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0$

其中 $\mathbf {n}$ 是該平面的法線，$\mathbf {p_{0}}$是平面上任意一點。（$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$表示向量 $\mathbf {a}$ 和 $\mathbf {b}$ 的數量積）

而直線可表示為

$\mathbf {p} =d\mathbf {l} +\mathbf {l_{0}} \quad d\in \mathbb {R}$

其中 $\mathbf {l}$是該直線的方向向量，$\mathbf {l_{0}}$是直線上任意一點，$d$是實數範圍內的純量。將直線方程代入平面方程得

$(d\mathbf {l} +\mathbf {l_{0}} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0$

展開得

$d\mathbf {l} \cdot \mathbf {n} +(\mathbf {l_{0}} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0$

解得 $d$

$d={(\mathbf {p_{0}} -\mathbf {l_{0}} )\cdot \mathbf {n} \over \mathbf {l} \cdot \mathbf {n} }.$

若 $\mathbf {l} \cdot \mathbf {n} =0$，則直線與平面平行。此時，如果($\mathbf {p_{0}} -\mathbf {l_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0$，則該直線在平面內，即直線上所有的點都是交點。否則，直線與平面沒有交點。

若 $\mathbf {l} \cdot \mathbf {n} \neq 0$，則直線與平面有且只有一個交點。解得 $d$，則交點的坐標為

$d\mathbf {l} +\mathbf {l_{0}}$.

參數形式

直線與平面的交點

空間中一條直線可以用一個點和一個給定的方向來描述。則一條直線可以表示為如下點的集合

$\mathbf {l} _{a}+(\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a})t,\quad t\in \mathbb {R}$

其中 $\mathbf {l} _{a}=(x_{a},y_{a},z_{a})$ 和 $\mathbf {l} _{b}=(x_{b},y_{b},z_{b})$ 是直線上兩個不同的點。

相似地，一個平面可以表示為如下點的集合

$\mathbf {p} _{0}+(\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0})u+(\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0})v,\quad u,v\in \mathbb {R}$

其中 $\mathbf {p} _{k}=(x_{k},y_{k},z_{k})$，$k=0,1,2$ 是平面上不共線的三個點。

直線和平面的交點可以表示為將直線上的點代入平面方程內，則參數方程如下：

$\mathbf {l} _{a}+(\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a})t=\mathbf {p} _{0}+(\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0})u+(\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0})v$

即

$\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}=(\mathbf {l} _{a}-\mathbf {l} _{b})t+(\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0})u+(\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0})v,$

用矩陣表示為

${\begin{bmatrix}x_{a}-x_{0}\\y_{a}-y_{0}\\z_{a}-z_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{a}-x_{b}&x_{1}-x_{0}&x_{2}-x_{0}\\y_{a}-y_{b}&y_{1}-y_{0}&y_{2}-y_{0}\\z_{a}-z_{b}&z_{1}-z_{0}&z_{2}-z_{0}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}$

可得點的坐標為

$\mathbf {l} _{a}+(\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a})t$

若直線與平面平行或在平面內，那麼向量 $\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a}$，$\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0}$ 及 $\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0}$是線性獨立的，且矩陣為奇異矩陣。

若滿足 $t\in [0,1]$，則交點在直線上 $\mathbf {l} _{a}$ 與 $\mathbf {l} _{b}$ 之間。

若滿足

$u,v\in [0,1],\;\;\;(u+v)\leq 1,$

則交點位於平面上 $\mathbf {p} _{0}$，$\mathbf {p} _{1}$ 及 $\mathbf {p} _{2}$所構成的三角形中。

該問題可用矩陣的形式表示解答：

${\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{a}-x_{b}&x_{1}-x_{0}&x_{2}-x_{0}\\y_{a}-y_{b}&y_{1}-y_{0}&y_{2}-y_{0}\\z_{a}-z_{b}&z_{1}-z_{0}&z_{2}-z_{0}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}x_{a}-x_{0}\\y_{a}-y_{0}\\z_{a}-z_{0}\end{bmatrix}}.$

應用

在計算機圖形學中的光線追蹤算法中，一個面可以被表示為幾個平面的集合。一個面的圖像可以用光線與每個面的交點表達。在基於視覺的三維重建中（計算機視覺的一個子場），深度通常是由「三角測量法」測算的。

外部連結

• Intersections of Lines, Segments and Planes (2D & 3D) from GeomAlgorithms.com （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）