谢泼德引理

谢泼德引理（Shephard's lemma）是微观经济学中的一个重要结论，在生产者理论和消费者理论等领域中都有所应用。

具体描述

在消费者理论中，谢泼德引理指出，对于给定的效用水平 $u$ 和给定的各产品价格 $\mathbf {p}$ ，某种产品 $i$ 的需求量恰等于支出函数对其价格求偏导的结果：

h_{i}(\mathbf {p} ,u)={\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{i}}}

，

其中 $h_{i}(\mathbf {p} ,u)$ 为产品 $i$ 的希克斯需求函数（英语：Hicksian demand function）， $e(\mathbf {p} ,u)$ 为消费者的支出函数。

通过带等式约束的包络定理即可证明：

{\frac {\partial {e}}{\partial {p_{i}}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {p_{i}}}}=x_{i}^{h}

，

其中 ${\mathcal {L}}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} +\lambda (u-U(\mathbf {x} ))$ 为拉格朗日乘数， $x_{i}^{h}$ 为使支出最小的需求量，也即希克斯需求函数。