谢泼德引理

薛福輔理（Shephard's lemma）是個體經濟學中的一个重要结论，在生产者理论和消费者理论等领域中都有所应用。

具体描述

在消费者理论中，谢泼德引理指出，對於给定的效用水準$u$和给定的各产品价格$\mathbf {p}$，某种产品$i$的需求量恰等于支出函数对其价格求偏导的结果：

$h_{i}(\mathbf {p} ,u)={\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{i}}}$，

其中$h_{i}(\mathbf {p} ,u)$为产品$i$的Hicks需求函數，$e(\mathbf {p} ,u)$为消费者的支出函数。

证明

通过带等式约束的包络定理即可证明：

${\frac {\partial {e}}{\partial {p_{i}}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {p_{i}}}}=x_{i}^{h}$，

其中${\mathcal {L}}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} +\lambda (u-U(\mathbf {x} ))$为拉格朗日乘數，$x_{i}^{h}$为使支出最小的需求量，也即Hicks需求函數。

參見

• 罗伊恒等式