阻力方程流体力学中计算一物体流体中运动,所受到阻力方程式

此方程式是由瑞利勋爵所提出,其方程式如下:

其中

FD为阻力,是施力平行流场方向的分量[注 1].
ρ为流体密度[注 2]
v 是流体相对物体的速度.
A 为参考面积.
CD阻力系数,是一个无量纲的系数,像汽车的阻力系数约在0.25到0.45之间.

参考面积A一般定义为物体在运动方向上的正交投影面积。对于形状简单,没有空洞的物体(例如球),参考面即为截面。若是其他物体(例如自行车骑士的身体),A可能比任何一个截面都要大。翼形就用翼弦的平方为参考面积。由于翼弦长常定义为1,因此参考面积也是1。飞机的阻力常和其升力相比较,因此常用机翼面积(或转子叶片面积)作为其参考面。飞艇旋转体使用体积阻力系数,其参考面积为其体积立方根的平方。有时一物体为了和其他物体比较阻力系数,会使用不同的参考面积,此时需特别标示所使用的参考面积。

对有尖角的物体,例如长方柱或是垂直流体方向的圆盘,在雷诺数大于1000时可以将阻力系数视为一定值[1]。但若是圆滑的物体,例如圆柱,阻力系数会随着雷诺数有明显的变化,甚至到雷诺数到达107也是如此[2]

讨论

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阻力方程是立基在一个假设的理想情形下:所有流体冲撞物体的参考面后停止,因此在整个参考面上产生滞止压强。实际的物体不可能完全符合此现象,而阻力系数CD就是真实物体所受阻力相对于理想情形阻力的比例。一般而言较粗糙。非流线性的物体其CD接近1。较平滑的物体CD数值较低。阻力方程提供了阻力系数CD的定义,此系数会随雷诺数而变化,实际的数值需要利用实验来求得。

若不考虑阻力系数的变化,阻力和流体速度的平方成正比,若速度变成原来的二倍,不但冲撞物体的流体速度加倍,单位时间内冲撞物体的流体质量也加倍,因此单位时间内的动量变化(及阻力)都变成原来的四倍。此现象和固体和固体之间的摩擦力不同,速度变化时,摩擦力不会有明显的改变。

推导

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阻力方程可以由量纲分析推导而得。假设一运动中的流体碰撞一物体,流体会对物体施力,根据一个复杂(且未完全了解)的定律,可以假设以下变数之间存在某种关系:

  • 速度 u,
  • 流体密度 ρ,
  • 流体的动黏滞系数 ν
  • 物体的大小,以其迎风面积A表示
  • 阻力 FD

利用白金汉π定理,可以将上述的5个变数简化为以下的二个变数:

  • 阻力系数 CD
  • 雷诺数 Re

若考虑原来的5个变数,可以得到以下的式子

 

上式并未假设阻力和其他变数之间有一对一的函数对应关系。而上式中的fa是某个未知的,有五个变数的函数。由于方程式的右侧是0,和使用的单位系统无关,因此应该可以将fa用无量纲来表示。

将上述五个变数组合成无量纲的方式有许多种,不过根据白金汉π定理,最后会有二个无量纲。最合适的是雷诺数

 

及阻力系数

 

因此上述五个变数的函数可以用另一个只有二个变数的函数来表示:

 

其中fb为某个只有二个变数的函数。因此原始的方程式变成只有二个变数的方程式

由于其中唯一的未知数为阻力FD,其型式可能如下

 

      及      

因此阻力可表示成 ½ ρ A u2 乘以某个自变数为雷诺数Re的未知函数,此型式较原来五个变数的函数要简单许多。

透过量纲分析将原本复杂的问题(要找出有五个变数的函数)变成一个较简单的问题:决定阻力和雷诺数之间的函数关系。

量纲分析也提供一些额外的资讯,例如在其他条件不变时,阻力和流体密度成正比,此资讯在进行研究的初期尤其宝贵。若要研究阻力和雷诺数之间的关系,可以不用用大型的物体在高速流体下进行实验(例如用真实尺寸的飞机进行风洞实验),只要用较小的物体,在黏滞度更大,速度更快的流体中进行实验即可,因为这二个系统为相似英语Similitude (model)的。

注释

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  1. ^ 施力垂直流场方向的分量可能有升力涡激振动英语vortex induced vibration.
  2. ^ 若在地球大气层中,空气密度可以用压高公式英语barometric formula计算. 在0°C,一大气压条件下密度为1.293 kg/m3.

参考文献

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引用

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  1. ^ Drag Force 互联网档案馆存档,存档日期2008-04-14.
  2. ^ See Batchelor (1967), p. 341.

来源

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书籍
  • Batchelor, G. K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. 1967. ISBN 0521663962. 
  • Huntley, H. E. Dimensional Analysis. Dover. 1967. LOC 67-17978. 

参见

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