麦克劳林不等式
数学中,麦克劳林不等式(Maclaurin's inequality),以科林·麦克劳林冠名,是算术几何平均不等式的加细。
设 a1, a2, ..., an 是正实数,对 k = 1, 2, ..., n 定义平均 Sk 为
这个分式的分子是度数为 n 变元 a1, a2, ..., an 的 k 阶基本对称多项式,即 a1, a2, ..., an 中指标递增的任意 k 个数乘积之和。分母是分子的项数,二项式系数 。
麦克劳林不等式是如下不等式链:
等号成立当且仅当所有 ai 相等。
对 n = 2,这个给出两个数通常的几何算术平均不等式。n = 4 的情形很好地展示了麦克劳林不等式:
证明
编辑- 首先证明
- 也就是: 。
- 这个式子等价于 ,
- 也就是: 。因此成立。
- 其次,假设对某个 ,已经证明了 ,那么也就等于说证明了:
- 牛顿不等式说明,还有:
- 这个不等式两边作k 次乘幂,就得到:
- 从而:
于是,综上所述,可以证明对所有的 ,都有:
麦克劳林不等式得证。
参见
编辑参考
编辑- Biler, Piotr; Witkowski, Alfred. Problems in mathematical analysis. New York, N.Y.: M. Dekker. 1990. ISBN 0824783123.
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