麥克勞林不等式
數學中,麥克勞林不等式(Maclaurin's inequality),以科林·麥克勞林冠名,是算術幾何平均不等式的加細。
設 a1, a2, ..., an 是正實數,對 k = 1, 2, ..., n 定義平均 Sk 為
這個分式的分子是度數為 n 變元 a1, a2, ..., an 的 k 階基本對稱多項式,即 a1, a2, ..., an 中指標遞增的任意 k 個數乘積之和。分母是分子的項數,二項式係數 。
麥克勞林不等式是如下不等式鏈:
等號成立若且唯若所有 ai 相等。
對 n = 2,這個給出兩個數通常的幾何算術平均不等式。n = 4 的情形很好地展示了麥克勞林不等式:
證明
編輯- 首先證明
- 也就是: 。
- 這個式子等價於 ,
- 也就是: 。因此成立。
- 其次,假設對某個 ,已經證明了 ,那麼也就等於說證明了:
- 牛頓不等式說明,還有:
- 這個不等式兩邊作k 次乘冪,就得到:
- 從而:
於是,綜上所述,可以證明對所有的 ,都有:
麥克勞林不等式得證。
參見
編輯參考
編輯- Biler, Piotr; Witkowski, Alfred. Problems in mathematical analysis. New York, N.Y.: M. Dekker. 1990. ISBN 0824783123.
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